文档介绍：第三章矩阵的初等变换与线性方程组
§1 矩阵的初等变换
§2 矩阵的秩
§3 线性方程组的解
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§1 矩阵的初等变换
1引例
用消元法解线性方程组
①
②
③
④
解:
(1)
①
②
③÷2
①
②
③
④
②-③
③-2①
④-3①
①
②
③
④
( )
( )
2
②÷2
③+5②
④-3②
①
②
③
④
( )
①
②
③
④
( )
③
④
④-2③
①-②
②-③
①
②
③
④
( )

①
②
③
④
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行阶梯形矩阵:
(i)可画出一条阶梯线,线的下方全为零;
(ii)每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的
行数,竖线后第一个元素为非零元.
如:
4
行最简形矩阵:
(i)是一个行阶梯形矩阵;
(ii)每行第一个非零元为1,且该元素所在的列的其它元素
都为0.
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2定义1
矩阵的初等行变换
注:
矩阵的初等列变换
矩阵的初等变换
(1) 矩阵的三种初等变换都可逆
就是本身;
(i)对调两行
(ii)
第 i 行乘 k
(iii)
第 j 行的 k 倍加到第 i 行上
逆变换
逆变换
逆变换
矩阵 A
行阶梯形矩阵和行最简形矩阵;
有限次
初等行变换
(2)
6
矩阵 A 与矩阵 B 等价
(A  B):
等价关系性质:
(i)反身性
A  A;
(ii)对称性
若A  B,则B  A;
(iii)传递性
若A  B,B  C,则A  C.
具有上述三条性质的关系称为等价.
如:两个方程组同解,则这两个方程组等价.
矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B.
有限次初等变换
即
r
c
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例1 设,把(A , E)化成行最简形。
解
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定理 1 设 A 与 B 为 m  n 矩阵,那么
(i)
A ~ B
r
的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵
P,使 PA = B;
(ii)
A ~ B
c
的充要条件是存在 n 阶可逆矩阵
Q,使 AQ = B;
(iii)
A ~ B
的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵
P及 n 阶可逆矩阵 Q,使 PAQ = B .
3、初等变换的性质
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