文档介绍：用消元法解二元线性方程组
一、二阶行列式的引入
方程组的解为
由方程组的四个系数确定.
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
定义
即
数aij(i=1, 2; j=1, 2)称为行列式（5）的元分析
展开式中项的一般形式是
所以不为零的项只有
解
（补充例题）例3
（注：第7页例6）同理可得下三角行列式
例4（第7页例5）证明对角行列式
证明
第一式是显然的,下面证第二式.
若记
则依行列式定义
证毕
1 、行列式是一种特定的算式.
2、阶行列式共有项，每项都是位于不同行、不同列的个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.
三、小结
思考题
已知
思考题解答
解
含的项有两项,即
对应于
一、对换的定义
定义
在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．
将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．
例如
二、对换与排列的奇偶性的关系
定理1　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．
推论
奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的
变化次数,
知推论成立.
证明
而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此
定理2 阶行列式也可定义为
其中为行标排列的逆序数.
定理3 阶行列式也可定义为
其中是两个级排列，为行
标排列逆序数与列标排列逆序数的和.
例1 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.
解
431265的逆序数为
所以前边应带正号.
行标排列341562的逆序数为
列标排列234165的逆序数为
所以前边应带正号.
1. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改
变奇偶性．

三、小结
其中是两个级排列，为行
标排列逆序数与列标排列逆序数的和.
思考题
证明在全部级排列中 ,奇偶排列各占一半.
思考题解答
证
设在全部阶排列中有个奇排列, 个偶排列,现来证 .
将个奇排列的前两个数对换,则这个奇排列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以
若将个偶排列的前两个数对换,
则这个偶排列
全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有
故必有
一、行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
行列式称为行列式的转置行列式.
记
证明
按定义
又因为行列式D可表示为
故
证毕
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
证明
设行列式
说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列
式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
是由行列式变换两行得到的,
于是
则有
即当时,
当时,
例如
推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.
证明
互换相同的两行，有
故
证毕
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.
推论　行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
性质４　行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．
证明
性质5　若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.
则D等于下列两个行列式之和：
例如
性质６　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
例如
例１
（类似第12页例7）
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
解
例2 计算阶行列式
（第12页例8的推广）
解
将第都加到第一列得
例3（第13页例9）
解从第4行开始，后行减前行：
注1：当把几个运算写在一起时，运算次序一定不能颠倒，这是因为后一次运算是作用在前一次运算结果上的缘故。
这样的运算结果是错误的。
注2：运算ri+rj与运算rj+ri是有区别的，同样不能把记号ri+krj写作krj+ri 。
例4（第14页例10）
证明
证明
例5（第15页例11）
计算2n阶行列式
其中未写出的元素均为0。