文档介绍：第四章向量组的线性相关性<br****题课
§ 向量组及其线性组合
§ 向量组的线性相关性
§ 向量组的秩
§ 向量空间
§ 线性方程组解的结构
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§ 向量组及其线性组合
一、n 维向量的概念
定义1: n 个有次序的数a1, a2, ···, an所组成的数组称为n维向量, 这n个数称为该向量的n个分量, 第 i 个数ai 称为第 i 个分量.
分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数的向量称为复向量.
例如: (1, 2, ···, n)为 n 维实向量.
(1+2i, 2+3i, ···, n+(n+1)i )为 n 维复向量.
第2个分量
第n个分量
第1个分量
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写成一行的 n 维向量, 称为行向量, 也就是行矩阵,通常用aT, bT, T, T 等表示, 如:
写成一列的 n 维向量, 称为列向量, 也就是列矩阵,通常用a, b, ,  等表示, 如:
注意:
1. 行向量和列向量总被看作是不同的向量;
2. 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算;
3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量.
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二、向量空间
向　量
解析几何
线性代数
既有大小又有方向的量
有次序的实数组成的数组
几何形象:可随意平
行移动的有向线段
代数形象:向量
的坐标表示式
坐标系
当 n  3 时,
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空　间
解析几何
线性代数
点空间:点的集合
向量空间:向量的集合
坐标系
代数形象:向量
空间中的平面
几何形象:空间
曲线、空间曲面
一一对应
点(x, y, z)的集合——平面
向量(x, y, z)T的集合
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当 n > 3 时, 向量不再有“几何”意义, 仍沿用几何空间的名词. 但其意义更为广泛.
例如: 在描述一空间运动物体时, 不仅与所处的空间位置(x, y, z)有关, 还与时间 t 有关, 这就是四维时空空间, 用向量表示为(x, y, z, t ).
叫做n 维向量空间.
叫做n维向量空间Rn中的n–1维超平面.
机身的仰角
机身的水平转角 (0    2);
机翼的转角 (-<);
确定飞机的状态, 需要以下6个参数:
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三、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.
例如: 矩阵A=(aij)mn有n个m维列向量:
向量组a1, a2,···, an称为矩阵A的列向量组.
飞机重心在空间的位置参数 P(x, y, z).
所以确定飞机的状态需用6维向量(x, y, z, , , )表示.
在日常工作, 学****和生活中, 有许多问题都需要用向量来进行描述.
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向量组1T, 2T,···, mT 称为矩阵A的行向量组.
反之, 由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.
n个m维列向量所组成的向量组a1, a2,···, an构成一个mn矩阵
类似地, 矩阵A=(aij)mn有m个n 维行向量:
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线性方程组的向量表示
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应.
m个n维行向量所组成的向量组1T, 2T,···, mT 构成一个mn矩阵
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定义: 给定向量组A: 1, 2, ···, m, 对于任何一组实数k1, k2, ···,km, 向量
k11 + k22 + ··· + kmm
称为向量组A: 1, 2,···, m的一个线性组合, k1, k2, ···, km称为这个线性组合的系数.
给定向量组A: 1, 2, ··· , m和向量b, 如果存在一组数1, 2, ···,m, 使
b = 11 + 22 + ··· + mm
则向量b是向量组A的线性组合, 这时称向量b能由向量组A线性表示. 即线性方程组
11 + 22 + ··· + mm = b
有解.
定理1: 向量b能由向量组A: 1, 2, ···, m线性表示的充分必要条件是矩阵A=(1, 2, ···, m)与矩阵B=(1, 2, ···, m, b)的秩相等.
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