文档介绍：第五章相似矩阵
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(1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,会求矩阵的特征值与特征向量.
(2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,会将矩阵化为相似对角矩阵.
(3) 简单了解Jordan标准形.
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(1) 方阵的特征值与特征向量.
(2) 矩阵的相似对角化.
:矩阵的相似对角化.
:线性方程组和线性组合都涉及方阵和向量的运算:.从矩阵上提出的问题是:能否找一个数和一个非零向量,使,,接着讨论特征向量的性质,为矩阵相似对角化作准备,最后简单介绍一下Jordan标准形.
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§ 方阵的特征值与特征向量
特征值与特征向量的概念
在一些应用问题中常会用到一系列的运算:为了简化运算,希望能找到一个数和一个非零向量,使,这样的数
和向量就是方阵的特征值与特征向量.
定义:对于阶方阵, 若有数和向量满足, 称为的特征值, 称为的属于特征值的特征向量.
下面给出特征值与特征向量的求法:
特征方程: 或者
有非零解
特征矩阵:或者
特征多项式:
的特征值与矩阵又有什么关系呢?
定理1:设阶方阵的个特征值为
则(1)
称为矩阵的迹。(主对角元素之和)
(2)
求的特征值与特征向量.
例2,例3 见书第136、137页.
特征向量的性质
方阵关于特征值的特征向量是齐次线性方程组
的非零解。由齐次线性方程组解得性质得:当是对应于
的特征向量时,它们的任何非零线性组合:仍是
关于的特征向量。在此,我们重点关注矩阵的特征向量的线性
相关性。
定理2:设是矩阵的不同特征值所对应的特征向量,
则是线性无关的。
定理3:矩阵的个不同特征值所对应的组各自线性无关的特征
向量并在一起仍是线性无关的。
定理4:设是阶方阵的一个重特征值,则对应的特征向量中
线性无关的最大个数
由以上定理可知,若有个互异的特征值:则每个仅
对应一个线性无关的特征向量,从而共有各线性无关的特征向量。
例4 求的特征值与特征向量.
解
求的特征向量:
,
求的特征向量:
, ,
(不同时为0)
例5 设的特征值为, 求.
解设, 则的特征值为
故
思考题:设4阶方阵满足条件:
求的一个特征值。
(答案:)
作业****题册第五章第一节。
§ 矩阵相似对角化
:对于阶方阵和, 若有可逆矩阵使得,
称相似于, 记作.
相似是矩阵之间的一种关系,这种关系具有下列三个性质:
(1) :
(2) :
(3)
若两个矩阵相似时,我们可以得到什么结论呢?
定理1: 设阶方阵和相似,则有
(1)
(2)
和的特征多项式相同,即
从而和的特征值相同。
证明:性质(1),(2)显然,下面只证明性质(3).因为故存在可逆矩阵
使于是
显然,若方阵与对角阵相似,则对角阵对角线上的元素即为的特征值。
例1:设矩阵与,求
解:利用得到方程
再利用,得到
有了对角阵,我们可以