文档介绍：凹凸曲线问题的求法
浙江省上虞市高级中学谢全苗
、背景公平,能考查学生的创新能力和潜在的数学素质,体现“高考命题范围遵循教学大纲,又不拘泥于教学大纲”,又没有作专门的研究,因此,就多数学生而言,对这类凹凸性曲线问题往往束手无策;而教师的“导数”,对这类非常规性问题作一探索,并引导学生去得到一般性的解法,无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养都是十分重要的.

函数y=f(x)、y=g(x)、y=h(x)、y=φ(x)的图象分别如下(图1):
图1
显然前三个虽都是增函数,但上升的形状不同:函数y=f(x)的图象是凸的,y=g(x)的图象是凹的,y=h(x)的图象是直线,而最后一个函数y=φ(x)的图象是增减交替,即凹凸交替(这里是先凸后凹).这与日常生活中对凹凸形象的直观认识和理解是一致的.
,函数y的对应增量为Δy1,Δy2,Δy3,…,如图2所示.
图2
由图2可知,当自变量x逐次增加一个单位增量Δx时,函数f(x)的相应增量
Δy1,Δy2,Δy3,…越来越小;函数g(x)的相应增量Δy1,Δy2,Δy3,…越来越大;函数h(x)的相应增量Δy1,Δy2,Δy3,…,保持不变;而函数φ(x)的相应增量Δy1,Δy2,Δy3,…的变化是在OA′A段上越来越小,在AB′B段上越来越大.
由此,对上述四个函数,我们可以说:对x的每一个单位增量Δx,函数y的对应增量Δyi(i=1,2,3,…):若越来越小,则函数的图象为凸的;若越来越大,则函数的图象为凹的;若先越来越小(或越来越大),再越来越大(或越来越小),则函数图象是先凸后凹(或先凹后凸)交替出现的.
弄清了上述四个函数及其图象的本质区别和变化的规律,就可准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题.

图3
图4
例1 向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图3所示,那么水瓶的形状是(图4中的)( ).(1998年全国高考题)

解:因为容器中总的水量(即注水量)V关于h的函数图象是凸的,即每当h增加一个单位增量Δh,,故选B.
例2 一高为H、满缸水量为V的鱼缸的截面如图5所示,其底部碰了一个小洞,,则函数V=f(h)的大致图象可能是图6中的( ).(选自《中学数学教学参考》2001年第1~2合期)的《试题集绵》.
图5
图6
解:据四个选项提供的信息(h从O→H),我们可将水“流出”设想成“流入”,这样,每当h增加一个单位增量Δh时,V的变化开始其增量越来越大,但经过中截面后则越来越小,故V关于h的函数图象是先凹后凸的,因此,选B.
图7
例3 在某种金属材料的耐高温实验中,:
①前5分钟温度增加的速