文档介绍：第二章变化率与导数
导数的几何意义
一、学习目标:
1、通过函数的图像直观地理解导数的几何意义;
2、理解曲线在一点的切线的概念;
3、会求简单函数在某点处的切线方程。
二、教学重点:了解导数的几何意义
教学难点:求简单函数在某点出的切线方程
三、教学方法:探析归纳,讲练结合
四、教学过程
复习回顾

:
y-y0=k(x-x0)
曲线的切线
y=f(x) y0=f(x0), y1=f(x1)
当自变量从x0变化到x1时,相应的函数值从f(x0)变化到f(x1)
自变量的增量△x= x1- x0
函数值的增量△y= f(x1)- f(x0)
Q(x0+ △x,y0+ △y)
△y=f(x0+ △x)-f(x0)
x
o
y
y=f(x)
P(x0,y0)
M
△x
△y
曲线在某一点处的切线的定义
设曲线C是函数y=f(x)的图象,在曲线C上取一点(x0,y0) 及邻近一点(x0+△x,y0+△y)
过P,Q两点作割线当点Q沿着曲线无限接近于点P即△x→0时, 如果割线PQ有一个极
限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在点P处的切线。
x
o
y
y=f(x)
△x
△y
P
Q
T
曲线在某一点处的切线的斜率公式
设割线PQ的倾斜角为β,切线PT的倾斜角为α
tanβ=当△x→0时,割线PQ的斜率的极限,就是曲线在点P
处的切线的斜率,即
tan α=
M
△x
β
α
o
y
P
Q
β
α
切线斜率
求曲线L:y=f(x)在点M(x0,y0)处切线的斜率。割线 MN 的斜率为:
割线 MN 的极限位置 MT 称
为曲线 L 在点 M 处的切线[来源:学科网ZXXK][来源:学科网]
切线 MT 的斜率为:
L
M
x
y
o
T
N
说明:
(1)割线趋近于确定的位置的直线定义为切线.
(2)曲线与直线相切,并不一定只有一个公共点.
(3)这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
(4)若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的导数f'(x0)不存在,就是切线与y轴平行.
导数的几何意义
函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数 f¢ (x0) 就
是曲线 y = f(x) 在点 M(x0, y0) 处的切线的斜率,即:
由直线的点斜式方程可知,曲线 y = f(x) 在点 M(x0, y0) 处的切线方程与法线方程分别为:
当时,切线方程,
当时,切线方程为或.
例1:求抛物线y=f(x)=x2在点P(1,1)处的切线的斜率.
求函数图象切线需要注意的问题
(1)已知切点(x0, f(x0)),求切线:
①求切线的斜率:k=f'(x0);
②确定切点(x0,f(x0));
③写切线方程:y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
(2)已知切线过点(a,b),求切线方程
点(a,b)可以在曲线上,也可以不再曲线上
A、设切点(x0,f(x0));
B、求斜率k=f'(x0);
C、写切线方程y-f(x0)=f'(x