文档介绍：第四章自由曲线和曲面
自由曲线和曲面是指那些形状比较复杂、不能用初等解析函数直接表示出来的曲线和曲面。汽车车身、飞机机翼和轮船船体等的曲线和曲面均属于这一类。一般情况下,它们需要利用插值或逼近的方法,对型值点进行拟合,得到拟合曲线和曲面。
11/10/2017
1
计算机图形学演示稿纪玉波制作(C)
曲线曲面的参数表示及连续性
如果用u表示参数,二维空间自由曲线的参数方程可以记为:
x﹦x(u),y﹦y(u) u[0,1]
二维空间曲线上一点的参数表示为:
P(u)﹦[x(u),y(u)]
三维空间自由曲线的参数方程表示为:
x﹦x(u),y﹦y(u),z﹦z(u);u[0,1]
曲线上一点的参数表示为:
P(u)﹦[x(u),y(u),z(u)]
同样,如果用u,w表示参数,二维空间自由曲面的参数方程表示为:
x﹦x(u,w),y﹦y(u,w) u,w[0,1]
曲面上一点的参数表示为:
P(u,w)﹦[x(u,w),y(u,w)]
三维空间自由曲面的参数方程表示为:
x﹦x(u,w),y﹦y(u,w),z﹦z(u,w);u,w[0,1]
曲面上一点的参数表示为:
P(u,w)﹦[x(u,w),y(u,w),z(u,w)]。
11/10/2017
2
计算机图形学演示稿纪玉波制作(C)
插值、逼近和拟合
给出一组有序的型值点列,根据应用的要求来得到一条光滑曲线,通常采用两种不同的方法,即插值方法和逼近方法。
插值方法要求生成的曲线通过每个给定的型值点。曲线插值方法有多项式插值,分段多项式插值,样条函数插值等。
逼近方法要求生成的曲线靠近每个型值点,但不一定要求通过每个点。逼近方法有最小二乘法,Bezier方法,B样条方法等。
用插值或逼近来构造曲线的方法通称为曲线拟合方法。
11/10/2017
3
计算机图形学演示稿纪玉波制作(C)
参数连续性条件
0阶导数连续性,记作C0连续,是指曲线相连。即第一个曲线段在u﹦1处的x,y,z值与第二个曲线段在u﹦0处的x,y,z值相等。
一阶导数连续性,记作C1连续,指两个相邻曲线段在交点处有相同的一阶导数。
二阶导数连续性,记作C2连续,指两个相邻曲线段在交点处有相同的一阶和二阶导数。高阶参数连续性可类似定义。
0阶几何连续性,记为G0连续,与0阶导数连续性相同。即两个曲线段在公共点处有相同的坐标。
一阶几何连续性,记为G1连续,指一阶导数在两个相邻段的交点处成比例,而大小不一定相等。
二阶几何连续性,记为G2连续,指两个曲线段在相交处其一阶和二阶导数均成比例。G2连续下,两个曲线段在交点处的曲率相等。
11/10/2017
4
计算机图形学演示稿纪玉波制作(C)
参数样条曲线
在计算机图形学中,术语样条曲线指由多项式曲线段连接而成的曲线,在每段的边界处满足特定连续条件。而样条曲面可用两组正交样条曲线来描述。样条用来设计曲线和曲面形状,典型的CAD应用包括汽车、飞机和航天飞机表面设计以及船壳设计。
在计算机图形学应用中使用几种不同的样条描述。每种描述是一个带有某特定边界条件多项式的特殊类型。
11/10/2017
5
计算机图形学演示稿纪玉波制作(C)
例如空间一条曲线用三次参数方程可以表示如下:
x(u)﹦axu 3﹢bxu 2﹢cxu﹢dx
y(u)﹦ayu 3﹢byu 2﹢cyu﹢dy
z(u)﹦azu 3﹢bzu 2﹢czu﹢dz u[0,1]
或
P(u)﹦au 3﹢bu 2﹢cu﹢d u[0,1]
如果曲线的边界条件设定为端点处满足给定坐标值P(0)和P(1),同时端点处的导数也满足给定值P’(0)和P’(1)。这四个边界条件对决定上式中方程的系数是充分条件。例如已知x(0)、x(1)、x’(0)和x’(1),则ax、bx、cx和dx就可以求出。解出各个系数后的上)式就是一种确定的三次参数样条表示式。
11/10/2017
6
计算机图形学演示稿纪玉波制作(C)
三次样条插值曲线
实际上,通常使用的是三次样条曲线。这是因为三次多项式曲线是能使曲线段的端点通过特定的点,并能使曲线段在连接处保持位置和斜率连续性的最低阶次的多项式。与更高次多项式相比,三次多项式只需较少的计算和存储且较稳定,而更低次多项式又难以用来描述复杂形状的曲线。
如果想使用三次样条获得一条通过各个型值点的连续曲线,需要利用三次样条分段插值得到通过每个型值点的分段三次样条曲线。对n+1个型值点,分段插值时段与段之间要建立合适的边界条件,既能使各段之间平滑连续,又可建立起足够