文档介绍：高考圆锥曲线怎么考
主干知识整合:
直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能.
经典真题感悟:
1.(江西卷15)过抛物线的焦点作倾角为的直线,与抛物线分别交于、两点(在轴左侧),则.
2 (2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线与曲线有公共点,则直线的斜率的取值范围为( )
A. B. C. D.
3(2008年海南---宁夏卷)设双曲线的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB的面积为___________.
热点考点探究:
考点一:直线与曲线交点问题
:2x2-y2=2与点P(1,2)
(1)求过P(1,2)点的直线l的斜率取值范围,使l与C分别有一个交点,两个交点,没有交点.
解:(1)当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=1,,设直线l的方程为y-2=k(x-1),代入C的方程,并整理得
(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0 (*)
(ⅰ)当2-k2=0,即k=±时,方程(*)有一个根,l与C有一个交点
(ⅱ)当2-k2≠0,即k≠±时
Δ=[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k)
①当Δ=0,即3-2k=0,k=时,方程(*)有一个实根,l与C有一个交点.
②当Δ>0,即k<,又k≠±,故当k<-或-<k<或<k<时,方程(*)有两不等实根,l与C有两个交点.
③当Δ<0,即k>时,方程(*)无解,l与C无交点.
综上知:当k=±,或k=,或k不存在时,l与C只有一个交点;
当<k<,或-<k<,或k<-时,l与C有两个交点;
当k>时,l与C没有交点.
(2)假设以Q为中点的弦存在,设为AB,且A(x1,y1),B(x2,y2),则2x12-y12=2,2x22-y22=2两式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)
又∵x1+x2=2,y1+y2=2
∴2(x1-x2)=y1-y1
即kAB==2
但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点,所以假设不正确,即以Q为中点的弦不存在.
(2)若Q(1,1),试判断以Q为中点的弦是否存在.
考点二:圆锥曲线中的最值问题
对于圆锥曲线问题上一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量,从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系,此时,用函数思想与函数方法处理起来十分方便。
例2 直线:和双曲线的左支交于A、B两点,直线过P()和AB线段的中点M,求在轴上的截距的取值范围。
解:由消去得,由题意,有:
设M(),则
由P()、M()、Q()三点共线,可求得
设,则在上为减函数。
所以,且
所以所以或
考点三:弦长问题
涉及弦长问题,应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长,涉及垂直关系往往也是利用韦达定理,设而不求简化运算.
,抛物线y2=4x的顶点为O,点A的坐标为(5,0),倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点,求△AMN面积最大时直线l的方程,并求△AMN的最大面积.
解:由题意,可设l的方程为y=x+m,-5<m<0.
由方程组,消去y,得x2+(2m-4)x+m2=0 ①
∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N,
∴方程①的判别式Δ=(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0,
解得m<1,又-5<m<0,∴m的范围为(-5,0)
设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4-2m,x1·x2=m2,
∴|MN|=4.
点A到直线l的距离为d=.
∴S△=2(5+m),从而S△2=4(1-m)(5+m)2
=2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128.
∴S△≤8,当且仅当2-2m=5+m,即m=-1时取等号.
故直线l的方程为y=x-1,△AMN的最大面积为8.
考点4:圆锥曲线关于直线对称问题
例4. 已知椭圆的中心在圆点,一个焦点是F(2,0),且两条准线间的距离为,
(I)求椭圆的方程;
(II)若存在过点A(1,0)的直线,使点F关于直线的对称点在椭圆上,求的取值范围.
【解析】(I)设椭圆的方程为
由条件知,
故椭圆的方程是
(II)依题意,直线的斜率存在且不为0,记为,则直线的方程是,设点F(2,0)关于直线的对称