文档介绍：2011年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解三
1.(13分) 如图,已知双曲线C:的右准线与一条渐近线交于点M,F是双曲线C的右焦点,O为坐标原点. (I)求证:;
(II)若且双曲线C的离心率,求双曲线C的方程;
(III)在(II)的条件下,直线过点A(0,1)与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间,满足,试判断的范围,并用代数方法给出证明.
解:(I)右准线,渐近线
,
……3分
(II)
双曲线C的方程为: ……7分
(III)由题意可得……8分
证明:设,点
由得
与双曲线C右支交于不同的两点P、Q
……11分
,得
的取值范围是(0,1) ……13分
2.(13分)已知函数,数列满足(I)求数列的通项公式;
(II)设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为,求;
(III)在集合,且中,是否存在正整数N,使得不等式对一切恒成立?若存在,则这样的正整数N共有多少个?并求出满足条件的最小的正整数N;若不存在,请说明理由.
解:(I)
……1分
……
将这n个式子相加,得
……3分
(II)为一直角梯形(时为直角三角形)的面积,该梯形的两底边的长分别为,高为1
……6分
(III)设满足条件的正整数N存在,则
又
均满足条件
它们构成首项为2010,公差为2的等差数列.
设共有m个满足条件的正整数N,则,解得
中满足条件的正整数N存在,共有495个, ……9分
3. (14分) 设双曲线的两个焦点分别为,离心率为2.
(I)求此双曲线的渐近线的方程;
(II)若A、B分别为上的点,且,求线段AB的中点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线;
(III)过点能否作出直线,使与双曲线交于P、Q两点,,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
解:(I)
,渐近线方程为 4分
(II)设,AB的中点
则M的轨迹是中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为的椭圆.(9分)
(III)假设存在满足条件的直线
设
由(i)(ii)得∴k不存在,即不存在满足条件的直线. 14分
4.(12分)设椭圆的左焦点为,上顶点为,过点与垂直的直线分别交椭圆和轴正半轴于,两点,且分向量所成的比为8∶5.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若过三点的圆恰好与直线:相切,求椭圆方程.
解:(1)设点其中.
由分所成的比为8∶5,得, 2分
∴.①, 4分
而,
∴..②, 5分
由①②知.
∴. 6分
(2)满足条件的圆心为,
, 8分
圆半径. 10分
由圆与直线:相切得,,
又.∴椭圆方程为. 12分
5.(14分)
(理)给定正整数和