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2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解六
1.(本小题满分14分)
如图,设抛物线的焦点为F,动点P在直线上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.
(1)求△APB的重心G的轨迹方程.
(2)证明∠PFA=∠PFB.
解:(1)设切点A、B坐标分别为,
∴切线AP的方程为:
切线BP的方程为:
解得P点的坐标为:
所以△APB的重心G的坐标为,
所以,由点P在直线l上运动,从而得到重心G的轨迹方程为:
(2)方法1:因为
由于P点在抛物线外,则
∴
同理有
∴∠AFP=∠PFB.
方法2:①当所以P点坐标为,则P点到直线AF的距离为:
即
所以P点到直线BF的距离为:
所以d1=d2,即得∠AFP=∠PFB.
②当时,直线AF的方程:
直线BF的方程:
所以P点到直线AF的距离为:
,同理可得到P点到直线BF的距离,因此由d1=d2,可得到∠AFP=∠PFB.
2.(本小题满分12分)
设A、B是椭圆上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
(Ⅰ)确定的取值范围,并求直线AB的方程;
(Ⅱ)试判断是否存在这样的,使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由.
(此题不要求在答题卡上画图)
本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.
(Ⅰ)解法1:依题意,可设直线AB的方程为,整理得①
设是方程①的两个不同的根,
∴②
且由N(1,3)是线段AB的中点,得
解得k=-1,代入②得,的取值范围是(12,+∞).
于是,直线AB的方程为
解法2:设则有
依题意,
∵N(1,3)是AB的中点, ∴
又由N(1,3)在椭圆内,∴
∴的取值范围是(12,+∞).
直线AB的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0.
(Ⅱ)解法1:∵CD垂直平分AB,∴直线CD的方程为y-3=x-1,即x-y+2=0,
代入椭圆方程,整理得
又设CD的中点为是方程③的两根,
∴
于是由弦长公式可得④
将直线AB的方程x+y-4=0,代入椭圆方程得⑤
同理可得⑥
∵当时,
假设存在>12,使得A、B、C、D四点共圆,则CD必为圆的直径,点M为圆心.
点M到直线AB的距离为⑦
于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
故当>12时,A、B、C、D四点匀在以M为圆心,为半径的圆上.
(注:上述解法中最后一步可按如下解法获得:)
A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形,A为直角|AN|2=|CN|·|DN|,
即⑧
由⑥式知,⑧式左边
由④和⑦知,⑧式右边
∴⑧式成立,即A、B、C、D四点共圆.
解法2:由(Ⅱ)解法1及λ>12,
∵CD垂直平分AB, ∴直线CD方程为,代入椭圆方程,整理得
③
将直线AB的方程x+y-4=0,代入椭圆方程,整理得
⑤
解③和⑤式可得
不妨设
∴
计算可得,∴A在以CD为直径的圆上.
又B为A关于CD的对称点,∴A、B、C、D四点共圆.
(注:也可用勾股定理证明AC⊥AD)
3.(本小题满分14分)