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2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解三
1.(本小题满分13分)
如图,已知双曲线C:的右准线与一条渐近线交于点M,F是双曲线C的右焦点,O为坐标原点.
(I)求证:;
(II)若且双曲线C的离心率,求双曲线C的方程;
(III)在(II)的条件下,直线过点A(0,1)与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间,满足,试判断的范围,并用代数方法给出证明.
解:(I)右准线,渐近线
,

……3分
(II)

双曲线C的方程为: ……7分
(III)由题意可得……8分
证明:设,点
由得
与双曲线C右支交于不同的两点P、Q

……11分
,得

的取值范围是(0,1) ……13分
2.(本小题满分13分)
已知函数,
数列满足
(I)求数列的通项公式;
(II)设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为,求;
(III)在集合,且中,是否存在正整数
N,使得不等式对一切恒成立?若存在,则这样的正整数N共有多少个?并求出满足条件的最小的正整数N;若不存在,请说明理由.
(IV)请构造一个与有关的数列,使得存在,并求出这个极限值.
解:(I)

……1分

……

将这n个式子相加,得

……3分
(II)为一直角梯形(时为直角三角形)的面积,该梯形的两底边的长分别为,高为1

……6分
(III)设满足条件的正整数N存在,则

又
均满足条件
它们构成首项为2010,公差为2的等差数列.
设共有m个满足条件的正整数N,则,解得
中满足条件的正整数N存在,共有495个, ……9分
(IV)设,即
则
显然,其极限存在,并且 ……10分
注:(c为非零常数),等都能使存在.
19. (本小题满分14分)
设双曲线的两个焦点分别为,离心率为2.
(I)求此双曲线的渐近线的方程;
(II)若A、B分别为上的点,且,求线段AB的中点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线;
(III)过点能否作出直线,使与双曲线交于P、Q两点,,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
解:(I)

,渐近线方程为 4分
(II)设,AB的中点

则M的轨迹是中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为的椭圆.(9分)
(III)假设存在满足条件的直线
设

由(i)(ii)得
∴k不存在,即不存在满足条件的直线. 14分
3. (本小题满分13分)
已知数列的前n项和为,且对任意自然数都成立,其中m为常数,且.
(I)求证数列是等比数列;
(II)设数列的公比,数列满足:
,试问当m为何值时,
成立?
解:(I)由已知
(2)
由得:,即对任意都成立

(II)当时,

由题意知, 13分
4.(本小题满分12分)
设椭圆的左焦点为,上顶点为,过点与垂直的直线分别交椭圆和轴正半轴于,两点,且分向量所成的比为8∶5.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若过三点的圆恰好与直线:相切,求椭圆