文档介绍：第二章圆锥曲线与方程
(一)复面解析几何研究的主要问题是:
(1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程;
(2)通过方程,研究平面曲线的性质.
我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究,今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析.
(二)几种常见求轨迹方程的方法
由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式,再用坐标代替这等式,化简得曲线的方程,这种方法叫直接法.
例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程;
(2)过点A(a,o)作圆O∶x2+y2=R2(a>R>o)的割线,求割线被圆O截得弦的中点的轨迹.
对(1)分析:
动点P的轨迹是不知道的,不能考查其几何特征,但是给出了动点P的运动规律:|OP|=2R或|OP|=0.
解:设动点P(x,y),则有|OP|=2R或|OP|=0.
即x2+y2=4R2或x2+y2=0.
故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0.
对(2)分析:
题设中没有具体给出动点所满足的几何条件,但可以通过分析图形的几何性质而得出,即圆心与弦的中点连线垂直于弦,,解答为:
设弦的中点为M(x,y),连结OM,
则OM⊥AM.
∵kOM·kAM=-1,
其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点).
利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程,,或利用平面几何知识分析得出这些条件.
直平分线l交半径OQ于点P(见图2-45),当Q点在圆周上运动时,求点P的轨迹方程.
分析:
∵点P在AQ的垂直平分线上,
∴|PQ|=|PA|.
又P在半径OQ上.
∴|PO|+|PQ|=R,即|PO|+|PA|=R.
故P点到两定点距离之和是定值,可用椭圆定义
写出P点的轨迹方程.
解:连接PA ∵l⊥PQ,∴|PA|=|PQ|.
又P在半径OQ上.
∴|PO|+|PQ|=2.
由椭圆定义可知:P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆.
若动点P(x,y)随已知曲线上的点Q(x0,y0)的变动而变动,且x0、y0可用x、y表示,则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程,(或代换法).
例3 已知抛物线y2=x+1,定点A(3,1)、B为抛物线上任意一点,点P在线段AB上,且有BP∶PA=1∶2,当B点在抛物线上变动时,求点P的轨迹方程.
分析:
P点运动的原因是B点在抛物线上运动,因此B可作为相关点,应先找出点P与点B的联系.
解:设点P(x,y),且设点B(x0,y0)
∵BP∶PA=1∶2,且P为线段AB的内分点.
求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求.
例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲
曲线方程.
分析:
因为双曲线以坐标轴为对称轴,实轴在y轴上,所以可设双曲线方
ax2-4b2x+a2b2=0
∵抛物线和双曲线仅有两个公共点,根据它们的对称性,这两个点的横坐标应相等,因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根.
∴△=1664-4Q4b2=0,即a2=2b.
(以下由学生完成)
由弦长公式得:
即a2b2=4b2-a2.
(三)巩固练习
用十多分钟时间作一个小测验,.
1.△ABC一边的两个端点是B(0,6)和C(0,-6),另两边斜率的
(2,0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2,求点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形?
=2px(p>0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程.
答案:
义法)
由中点坐标公式得:
(2)新课讲授过程
(i)由上述探究过程容易得到椭圆的定义.
〖板书〗把平面内与两个定点,的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).其中这两个定点叫做椭圆的焦点,,椭圆即为点集.
(ii)椭圆标准方程的推导过程
提问:已知图形,建立直角坐标系的一般性要求是什么?第一、充分利用图形的对称性;第二、注意图形的特殊性和一般性关系.
无理方程的化简过程是教学的难点,注意无理方程的两次移项、平方整理.