文档介绍：2013 中考数学总复习
第3章函数及其图像
15 生活中的二次函数
华村学校占丰平
问题1◎与营销有关的最值
思考:将进货单价为90元的某种商品按100元售出时能卖出500个;若价格每上涨1元,其销售量就减少10个,为了获得最大利润,价格应定为( )

B
归纳:关于二次函数的应用题,常把理论和实际联系在一起,仔细分析题意,弄清题中的数量关系,建立二次函数模型,同时还要注意在实际问题中自变量x的取值。要使实际问题有意义,也就是说利用二次函数求最值时,特别要注意自变量的取值范围。
例1 某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不记),这些薄板的形状均为正方形,边长(单位:cm)在5~50之间,每张薄板的成本价(单位:元)与它的面积(单位: )成正比例。每张薄板的出厂价(单位:元)由基础价和浮动价两部分组成,其中基础价与薄板的大小无关,是固定不变的,浮动价与薄板的边长成正比例。在营销过程中得到了如下表格中的数据:
(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式。
(2)已知出厂一张边长为40cm的薄板,获得的利润是26元(利润=出厂价-成本价)。
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式。
②当边长为多少时,出厂一张薄板获得的利润最大?最大利润是多少?
探索:本题一要理解“出厂价”、“成本价”、“基础价”、“浮动价”的实际意义;二要弄清两个关系﹕“浮动价”应薄板的边长成正比例”、“成本价”与它的面积成正比例”;三要会运用两个模型:“出厂价=基础价+浮动价”、“利润=出厂价-成本价”。最后运用二次函数的最值意义解决问题。
解:(1)设一张薄板的边长为xcm,它的出厂价为y元,基础价为n元,浮动价为kx+n.
∴y=2x+10
(2)①设一张薄板的利润为P元,它的成本价为mx²元。由题意得
P=y-mx²=2x+10-mx².
将x=40,P=26代入得
②
(在5~50之间)时,
即出厂一张边长为25cm的薄板时,所获得的利润最大,最大利润为35元。
提醒:利用二次函数解决实际问题时要善于分析问题中的数量关系,建立二函数模型。求最值时。一定要注意由于问题情景对自变量的约束,最大(小)值不一定在函数的顶点处取得,此时一定要结合自变量的取值范围和函数图像及其增减性质求解。
问题2◎呈抛物线形状实物的几何探究
思考:如图,济南建邦大桥有一段抛物线形的拱粱,抛物线的函数表达式为y=ax²+,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱粱的高度相同,则小强骑自行车通过拱粱部分的桥面OC共需_______秒。
36
y
O
C x
归纳:在现实生活中,有许多与抛物线有关的实物模型,如桥梁、隧道、大棚蔬菜的工棚等给我们以抛物线的形象,对解决这类实际问题,要恰当地把它落实在平面直角坐标系中的抛物线上,从而确定二次函数的表达式。另外当求最值时要核实抛物线的最值与实际问题的最值是否一致,这就要求我们必须认真审题。
例2 如图,小河上有一拱桥,桥拱及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、DB组成。已知河底DE是水平的,DE=16米,AE=8 米,抛物线的顶点C到ED的距离是11米,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。
(1)求抛物线的解析式。
(2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h(单位:米)随时间t(单位:时)的变化满足函数关系式,且当水面到顶点C的距离不大于5米时,需禁止船只通行。请通过计算说明:在这一时段内,有多少小时需禁止船只通行?
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A
B
C
D
E
O
x
y
探索:(1)本题首先将已知线段的长或点到坐标轴的距离转化为点的坐标。再利用以y轴为对称轴的抛物线模型,确定二次函数解析式;(2)由于题中提供了水面与河底ED的距离h与时间t的函数关系式,计算时,先算出h=11-5时t的值,再根据其变化特征把问题解决。
解:(1)依题意有顶点C的坐标为(0,11),点B的坐标为(8,8)。设抛物线的解析式为y=ax²+c.
可知,当3≦t≦35时,水面到顶点C的距离不大于5米,需禁止船只通行。
∴禁止船只通行的时间为35-3=32(时)。