文档介绍：“点差法”在解析几何题中的应用
江苏省木渎高级中学(215101) 潘振嵘
在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用到如下解法:设弦的两个端点坐标分别为,代入圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这即为“点差法”,此法有着不可忽视的作用,,以供参考.
求弦中点的轨迹方程
例1 已知椭圆,求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.
解设弦的两个端点分别为,的中点为.
则,(1),(2)
得:,
.
又,.
弦中点轨迹在已知椭圆内,所求弦中点的轨迹方程为(在已知椭圆内).
例2 直线(是参数)与抛物线的相交弦是,则弦的中点轨迹方程是.
解设,中点,则.
,过定点,.
又,(1),(2)
得:,
.
于是,即.
弦中点轨迹在已知抛物线内,所求弦中点的轨迹方程为(在已知抛物线内).
求曲线方程
例3 已知的三个顶点都在抛物线上,其中,且的重心是抛物线的焦点,求直线的方程.
解 ,则三点共线,且,分所成比为,于是,
解得,.
设,则.
又,(1),(2)
得:,.
所在直线方程为,即.
例4 已知椭圆的一条准线方程是,有一条倾斜角为的直线交椭圆于两点,若的中点为,求椭圆方程.
解设,则,且,(1),(2)
得:,,
,,(3)
又,,(4)
而,(5)
由(3),(4),(5)可得,
所求椭圆方程为.
求直线的斜率
例5 已知椭圆上不同的三点与焦点的距离成等差数列.(1)求证:;(2)若线段的垂直平分线与轴的交点为,求直线的斜率.
(1)证略.
(2)解 ,设线段的中点为.
又在椭圆上,,(1),(2)
得:,
.
直线的斜率,直线的方程为.
令,得,即,直线的斜率.
确定参数的范围
例6 若抛物线上存在不同的两点关于直线对称,求实数的取值范围.
解当时,显然满足.
当时,设抛物线