文档介绍：第五章数列参考答案
1-9: B B C C C D A
10:【答案】解:设该数列公差为,,可得
.
所以,
解得,或,即数列的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.
所以数列的前项和或
11: ;12: 1000 ;13:12 ;14:;;15:;16:;17: ;18:;19:; 20:=;21:;22:2,;23:63
24.(2013安徽)设函数,证明:
(Ⅰ)对每个,存在唯一的,满足;
(Ⅱ)对任意,由(Ⅰ)中构成的数列满足.
【答案】解: (Ⅰ) 是x的单调递增函数,也是n的单调递增函数. .
综上,对每个,存在唯一的,满足;(证毕)
(Ⅱ) 由题知
上式相减:
.
法二:
.(2013上海)(3 分+6分+9分)给定常数,定义函数,数列
满足.
(1)若,求及;(2)求证:对任意,;
(3)是否存在,使得成等差数列?若存在,求出所有这样的,若不存在,说明理由.
【答案】:(1)因为,,故,
(2)要证明原命题,只需证明对任意都成立,
即只需证明
若,显然有成立;
若,则显然成立
综上,恒成立,即对任意的,
(3)由(2)知,若为等差数列,则公差,故n无限增大时,总有
此时,
即
故,
即,
当时,等式成立,且时,,此时为等差数列,满足题意;
若,则,
此时,也满足题意;
综上,满足题意的的取值范围是.
.(2013江苏)本小题满分10分.
设数列,即当
时,,记,对于,定义集合
(1)求集合中元素的个数; (2)求集合中元素的个数.
【答案】,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力.
(1)解:由数列的定义得:,,,,,,,,,,
∴,,,,,,,,,,
∴,,,,
∴集合中元素的个数为5
(2)证明:用数学归纳法先证
事实上,
① 当时, 故原式成立
② 假设当时,等式成立,即故原式成立
则:,时,
综合①②得: 于是
由上可知:是的倍数
而,所以是
的倍数
又不是的倍数,
而
所以不是的倍数
故当时,集合中元素的个数为
于是当时,集合中元素的个数为
又
故集合中元素的个数为
.(2013浙江)在公差为的等差数列中,已知,且成等比数列.
(1)求; (2)若,求
【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:
;
(Ⅱ)由(1)知,当时,,
①当时,
②当时,
所以,综上所述:;
.(2013湖北)已知等比数列满足:,.
(I)求数列的通项公式;
(II)是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.
【答案】解:(I)由已知条件得:,又,,
所以数列的通项或
(II)若,,不存在这样的正整数;
若,,不存在这样的正整数.
.(2013山东)设等差数列的前n项和为,且,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列前n项和为,且(为常数)..
【答案】解:(Ⅰ)设等差数列的首项为,公差为,
由,得
,
解得,,
因此
(Ⅱ)由题意知:
所以时,
故,
所以,
则
两式相减得
整理得
所以数列数列的前n项和
.(2013江苏),公差为的等差数列,,,其中为实数.
(1)若,且成等比数列,证明:();
(2)若是等差数列,证明:.
【答案】证明:∵是首项为,公差为的等差数列,是其前项和
∴
(1)∵∴
∵成等比数列∴∴
∴∴∵∴∴
∴
∴左边= 右边=
∴左边=右边∴原式成立
(2)∵是等差数列∴设公差为,∴带入得:
∴对恒成立
∴
由①式得: ∵∴
由③式得:
法二:证:(1)若,则,,.
当成等比数列,,
即:,得:,又,故.
由此:,,.
故:().
(2),
. (※)
若是等差数列,则型.
观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,
故有:,即,而≠0,
故.
经检验,当时是等差数列.
.(2013大纲)等差数列的前项和为,已知,且成等比数列,求的通项式.
【答案】
.(2013天津)已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n项和为, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列.
(Ⅰ) 求数列的通项公式;
(Ⅱ) 设, 求数列的最大项的值与最小项的值.
【答案】
.(2013江西)正项数列{an}的前项和{an}满足:
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令,数列{bn}:对于任意的,都有
【答案】(1)解:由,得.
由于是正项数列