文档介绍：十一、伯努利数
前面我们曾经用母函数的方法计算过自然数的四次方的和
,
虽然算出来了,但方法不算简便,特别当方幂的次数升高时,计算起来更麻烦. 现在我们从另一个角度出发,利用指数型母函数的思想,给出自然数方幂和的计算公式. 我们分下面几个步骤来做.
(一)首先我们要找出函数
作为指数型母函数所生成的数列,即要寻找数列
,
使得
. (107)
因为
所以(107)可写为
比较系数,即知B0=1,若记,则上式可写为
.
根据(96),得
, (108)
其中.
因为,上式可改写为
,
比较(108)两端同次幂的系数,得,即
两端加上Bn,即得
(109)
这就是计算Bn的递推公式. 例如令n=2,得
,
所以;令n=3,得
,
所以;令n=4,得
,
所以B3=0;依次算下去,可得
,
由此可见,所有Bn都是有理数;而且不难证明,除了B1外所有带有奇数足标的都等于0,即
事实上,现在(107)可写为
或者
. (110)
把左端的函数记为, 于是
这说明是一个偶函数,与多项式的情况相同,(110)右端的幂级数中不能出现x的奇次数,因而
数列称为伯努利数,在下面的的讨论中将起重要作用.
(二)已经知道
,
这里Bn是伯努利数,t是任意实数. 我们研究由这两指数型母函数的乘积作为指数型母函数所生成的数列;
根据(96)得
(112)
这是一个关于t的多项式,称为伯努利多项式. 由此易知
(113)
因为伯努利数已经算出,伯努利多项式也就可以具体写出来,例如
伯努利多项之所以和计算自然数的方幂和有关,是因为它有这样一个性质:
(114)
我们利用指数型母函数来证明这一重要事实. 因为由(111),
,
所以,
两式相减,并利用定理11,得
比较两