文档介绍：数学在地图学中的应用
钟业勋1,2 胡宝清1 乔俊军3
(1,广西师范学,1a 北部湾环境演变与资源利用教育部重点实验室,1b资源与环境科学学院,南宁,530001;2,广西测绘局,南宁,530023;3,武汉大学测绘学院,武汉,430079)
摘要:地图表示对象是地理空间中的自然现象和社会经济现象,这些表示对象间的数量关系和空间形式的客观在,使以数量关系和空间形式为研究对象的数学,与地图学关系密切。本文论述了拓扑学和函数论、几何学、代数学、微积分、图论、集合论、概率论与数理统计、分形几何、模糊数学等在地图学中的应用,并对应用了多种数学工具和数学方法的数理地图学作了简要介绍。数学在地图学中的广泛应用说明,数学在促进地图学的发展中发挥着重要作用。
关键词:数学;拓扑学;代数学;微积分;集合论;地图学;应用
数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的一门学科[1]。地图表示和反映的对象是地理空间中的自然现象和社会经济现象,也即是地球上大气圈、水圈、生物圈、岩石圈和土壤圈交互作用的区域内的事物[2]。空间地学实体间的数量关系和空间形式的客观存在,决定着数学与地图学之间存在着十分密切的关系。本文根据数学在地图学中的应用,分别对拓扑学和函数论、几何学、微积分等进行论述。
1 拓扑学和函数论
地图投影是地图的数学基础。地图投影也就是建立平面上的点(用平面直角坐标或极坐标表示)和地球表面上的点(用纬度经度表示)之间的函数关系,即
(1)
不同的,,决定着不同的具体的地图投影[3]。
地图投影变换,定义为两个二维场间的拓扑变换。若视地球表面为一剪开的具有曲线坐标,的二维场,那么,地图投影及其逆变换就是投影变换的一个特例[4]。所谓拓扑变换,是一种既不撕破也不捏合,但允许将图伸缩和弯曲的变换[5]。图1中的两幅南美洲地图,直观地表示了拓扑变换的含义。
根据拓扑学中网的数学定义,可以导出地图学中坐标网、水网、道路网等地图网络的数学定义[6]。
因变量是自变量的函数[7]。(1)式中,x,y因给定的,值而变,x,y是,的函数。获得x的f1和获得y的f2是两个不同的函数。对应、映射、变换都是函数的同义词[8]。
地图符号是地图的语言。地图符号本质上是制图物体在三重拓扑映射下的平面象。这三重拓扑是:三维空间X到地球椭球面S的映射f : X→S,椭球面S到制图者认知结构Y的映射g : S→
项目来源:国家自然科学基金资助项目(40871250,40661005);教育部新世纪优秀人才支持计划专项(NCET-06-0760). 广西自然科
学基金重点项目(0832021Z).
作者简介:钟业勋(1939-),男,教授,研究方向:地图学理论。E-mail:gxzyxun@
Y以及Y到二维平面Z的映射q : Y→Z。设x为制图区域A内的制图物体,,则
为其椭球面上的投影,为制图者关于x及f(x)的知识,它以观念形态存在于制图者的认知结构Y中。则为地图符号。制图者根据地图专题选定x的属性,通过主观干予保证x与qgf(x)的一一对应性[9]
图1 南美洲在两种不同投影中的形状
Fig1. Form of South America in Two Different Projection
2 几何学
以著名的第五公设(平行公理)演绎出