文档介绍：北京交通大学
2010~2011学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案
一.(本题满分8分)
一间宿舍内住有6位同学,求这6位同学中至少有2位的生日在同一个月份(不考虑出生所在的年份)的概率.
解:
设“6位同学中至少有2位的生日在同一个月份”.
所求概率为.…………………………..1分
考虑事件的逆事件:
“6位同学的生日各在不同的月份”.…………………………..1分
.
……..2分…..2分…………..2分
二.(本题满分8分)
有朋友自远方来访,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是,,、轮船、汽车、飞机来的话,迟到的概率分别为、、、,结果他未迟到,试问他乘火车来的概率是多少?
解:
设“朋友来访迟到”,
“朋友乘火车来访”, “朋友乘轮船来访”,
“朋友乘汽车来访”, “朋友乘飞机来访”.……..1分
所求概率为,由Bayes公式得……..1分
…..2分
……..2分
. ……………..2分
三.(本题满分8分)
设随机变量的密度函数为
试求随机变量的分布函数.
解:
当时,
; …….1分
当时,
;……..2分
当时,
;……..2分
当时,
.……..2分
因此,随机变量的分布函数为.……..1分
四.(本题满分8分)
试决定常数,使得,为某一离散型随机变量的分布列,其中为参数.
解:
若使,是某一随机变量的分布列,当且仅当
,,而且, ……..2分
因此有
,……..4分
所以有.……..2分
五.(本题满分8分)
有两个不相等的实数根的概率.
解:
一元二次方程有两个不相等的实数根的充分必要条件是
,或者.……..2分
又的联合分布列为,.……..2分
所以,一元二次方程有两个不相等的实数根的充分必要条件是的取值应为下列情形之一:,,,,,,,
,,,,,,,,,.……..2分
.……..2分
六.(本题满分8分)
设随机变量服从区间上的均匀分布,试求随机变量的密度函数.
解:
随机变量的密度函数为
.……..1分
设的分布函数为,则有
.……..1分
当时,;
当时,;
当时,.……..1分
综上所述,得随机变量的分布函数为
.……..1分
因此,随机变量的密度函数为
.……..1分
当时,,,于是有
,,
因此有;
当时,,,于是有
,,
因此有.……..2分
因此,随机变量的密度函数为
.……..1分
七.(本题满分8分)
试解释“在大量独立重复试验中,小概率事件几乎必然发生”的确切意思.
解:
设是一随机事件,其概率.……..1分
现独立重复做试验,则在次独立重复试验中,事件至少发生一次的概率为
.……..2分
令,则有.……..2分
这表明,只要试验次数充分大,不管随机事件的概率多么小,随机事件在次独立重复试验中至少发生一次的概率与1可以任意接近,即随机事件在次独立重复试验中至少发生一次是几乎必然的.……..3分
八.(本题满分8分)
一公寓有户住户,一户住户拥有汽车辆数的分布列为
试用中心极限定理近似计算,至少要设多少车位,才能使每辆汽车都具有一个车位的概率至少为?(设:,其中是的分布函数.)
解:
设需要的车位数为,表示第个住户需要的车位数,.则随机变量独立同分布,而且
,
,……..2分
于是有
.……..1分
由题意,得
.……..3分
由题设,,因此得,
所以有.
因此至少需要个车位,才能满足题设要求.……..2分
九.(本题满分8分)
设随机变量与相互独立,而且都服从参数为的指数分布,令
,
试求二维随机变量的相关系数.
解:
因为与都服从参数为的指数分布,所以
,.……..1分
于是有
,
.
再由与的相互独立性,得
,
. ……..3分
.……..2分
所以有
.
因此有
.……..2分
十.(本题满分8分)
设总体存在二阶矩,总体期望,总体方差,是从中抽取的一个样本,是样本均值,是样本方差.⑴计算方差(4分);⑵如果,计算方差(4分).
解:
⑴.……..4分
⑵因为总体,是取自总体中的一个样本,所以
.……..2分
所以,
.……..2分
十一.(本题满分10分)
设,证明:随机事件与相互独立的充分必要条件是
.
证明:
必要性:
设随