文档介绍：高等学校攻读硕士学位
研究生入学考试高等代数试题集锦
嘉应学院数学学院
二00九年七月
目录
bjsf北京师范大学(2004,2003,)
hebgy哈尔滨工业大学(2009,)
hnsf华南师范大学(2007,2003,2002)
hzkj华中科技大学(2004,)
hzsf华中师范大学(2006,)
kmlg昆明理工大学(2008,)
lz兰州大学(2002,)
nk南开大学(2006,2005,2003,)
st汕头大学(2005,2004,2003,2002,2000,1999,1998)
sx三峡大学(2006,)
sxsf陕西师范大学(2005,)
sz深圳大学(2004,)
xb西北工业大学(2004,2000(1),2000(2),1999(1),1999(2),)
xm厦门大学(2004,)
xn西南大学(2006,)
zgkxy中国科学院(2003,1997,1996,)
北京师范大学
2004年
(1) ;
(2) ,此处表示对脚标进行所有可能的元置换后对不同的项求和;
(3) 。
(1) 证明是一个线性变换;
(2) 求出在下述基底下的矩阵:
(3) 求出在下述基底下的矩阵:
(4) 写出从到的过渡矩阵。
(1) 求出系数矩阵的秩;
(2) 给出方程组有解的充分必要条件。
,其中,设与分别是的最大与最小特征值。则对任意的个实数均有
,是的一个标准正交基,是的一个线性变换,是关于这个基的矩阵,证明
,是的极小多项式,此处和是不同的复数。令
证明:(1) 和都是的不变子空间;
(2) ;
(3) 的极小多项式是,的极小多项式是。
2003年
1.(1) 计算排列87162534的逆序数,并依次写出将上述排列变成12345678的所有对换。
(2) 设个数码的排列的逆序数是,那么排列的逆序数是多少?请说明理由。
是数域上的一个阶若当块,试写出与可交换的域上的全体阶矩阵。
,则称之为素数。证明是素数当且仅当任取正整数,若,则或。
是六个实函数,它们生成的子空间记作。说明维商是上的一个线性变换,并求在基下的矩阵。
(1) 求的特征多项式;
(2) 维向量空间有循环基底吗?若有,试求之;
(3) 求的极小多项式并说明理由。
,是上的未定元,二阶矩阵
其中,是域上的一元多项式环。运用带余除法证明可通过行与列三种初等变换(其中第三种变换允许将某行(列)乘以中的多项式加到另一行(列)上)化为
的形式,且。
哈尔滨工业大学
2009年
1. 设是一个数域,,。证明若,则。
,线性变换对于基
的象为
求在上的矩阵。
3. 设矩阵。且与相似。
求;
求一个可逆阵,使。
,如果存在正整数使得。试证
若为阶复幂零矩阵,则;
若为阶复幂零矩阵,则对任意非零常数,都可逆。
,并且可由向量组线性表出。那么,并且,以适当地排列组中向量的次序,使得组替换组地前个向量后所得到地向量组,与组等价。
,且是可逆对称矩阵,。证明存在可逆矩阵,使为分块对角阵。
,且的维数小于的维数。证明
中必有一非零向量正交于中的所有向量。
,所组成线性空间,设,证明
都是的线性子空间;
。
,则方程的根都是正的,并且当且仅当时,所有的根都等于1。
,试证。
华南师范大学
2007年
(1) 设是数域上的多项式,在什么条件下,由可推出;
(2) 下列变换那些保持矩阵的秩不变:初等变换,相似变换,转置变换,右乘变换,正交变换;
(3) 写出阶方阵可逆的五个等价条件;
(4) 在欧氏空间中,写出向量组正交化后得到的正交向量组;
(5) 写出实二次型的规范形,并对此规范形写出符号差和秩。
取何值时,方程组无解,有唯一解,有无穷多解;在有解时写出它的通解。
,
关于,讨论矩阵的秩。
,证明
(1) 无有理数的根;
(2) 在有理数域上不可约。
,证明
(1) 若是由生成的子空间,则;
(2) 若且是可逆的,则。
(是数域)的基线性变换关于基的矩阵是
又有基