文档介绍：1 随机信号的经典谱估计方法
估计功率谱密度的平滑周期图是一种计算简单的经典方法。它的主要特点是与任何模型参数无关,是一类非参数化方法[4]。它的主要问题是:由于假定信号的自相关函数在数据观测区以外等于零,因此估计出来的功率谱很难与信号的真实功率谱相匹配。在一般情况下,周期图的渐进性能无法给出实际功率谱的一个满意的近似,因而是一种低分辨率的谱估计方法。本章主要介绍了周期图法、相关法谱估计(BT)、巴特利特(Bartlett)平均周期图的方法和Welch法这四种方法。
周期图法
周期图法又称直接法。它是从随机信号x(n)中截取N长的一段,把它视为能量有限x(n)真实功率谱的估计的抽样.
周期图这一概念早在1899年就提出了,但由于点数N一般比较大,该方法的计算量过大而在当时无法使用。只是1965年FFT出现后,此法才变成谱估计的一个常用方法。周期图法[5]包含了下列两条假设:
,可以用其一个样本x(n)中的一段来估计该随机序列的功率谱。这当然必然带来误差。
,就默认在时域是周期的,以及在频域是周期的。这种方法把随机序列样本x(n)看成是截得一段的周期延拓,这也就是周期图法这个名字的来历。与相关法相比,相关法在求相关函数时将以外是数据全都看成零,因此相关法认为除外x(n)是全零序列,这种处理方法显然与周期图法不一样。
但是,当相关法被引入基于FFT的快速相关后,相关法和周期图法开始融合。通过比较我们发现:如果相关法中M=N,不加延迟窗,那么就和补充(N-1)个零的周期图法一样了。简单地可以这样说:周期图法是M=N时相关法的特例。因此相关法和周期图法可结合使用。
相关法谱估计(BT)法
这种方法以相关函数为媒介来计算功率谱,所以又叫间接法。它是1958年由Blackman 和Tukey提出。这种方法的具体步骤是:
第一步:从无限长随机序列x(n)中截取长度N的有限长序列列
第二步:由N长序列求(2M-1)点的自相关函数序列。即
(2-1)
这里,m=-(M-1)…,-1,0,1…,M-1,MN,是双边序列,但是由自相关函数的偶对称性式,只要求出m=0,。。。,M-1的傅里叶变换,另一半也就知道了。
第三步:由相关函数的傅式变换求功率谱。即
(2-2)
以上过程中经历了两次截断,一次是将x(n)截成N长,称为加数据窗,一次是将x(n)截成(2M-1)长,称为加延迟窗。因此所得的功率谱仅是近似值,也叫谱估计,式中的代表估值。一般取M<<N,因为只有当M较小时,序列傅式变换的点数才较小,功率谱的计算量才不至于大到难以实现,而且谱估计质量也较好。因此,在FFT问世之前,相关法是最常用的谱估计方法。
当FFT问世后,情况有所变化。因为截断后的可视作能量信号,由相关卷积定理可得
(2-3)
这就将相关化为线性卷积,而线性卷积又可以用快速卷积来实现。我们可对上式两边取(2N-1)点DFT,则有
(2-4)
于是将时域卷积变为频域乘积,用快速相关求的完整方案如下:
对N长的补充(N-1)个零,成为(2N-1)长的。
求(2N-1)点的FFT,得。
求。由DFT性质,是纯实的,满足共轭偶对称,而一定是实偶的,且以(2N-1)为周期。
求(2N-1)点的IFFT:
(2-5)
这里是实偶的,m=-(N-1)...0...N-1。本来IFFT求和范围是0至2N-2,由于的实偶性与周期性,求和范围改为-(N-1)至(N-1)不影响计算结果。同理可将m的范围改为-(N-1)至(N-1)。
上述的快速相关中,补充零的目的是为了能用圆周卷积代替线性卷积,以便进一步采用快速卷积算法。快速相关输出是-(N-1)至(N-1)的2N-1点,加窗后截取的是-(M-1)至(M-1)的频段,最后作(2M-1)点FFT,得。我们注意到:如果数据点数与自相关序列点数相同即M=N,则(2N-1)点的IFFT后紧跟一个(2N-1)点的FFT,利用的对称性,FT运算框的计算式变为
(2-6)
由于N=M并假设窗形状是矩形的,第二次的截断就不需要了。比较式(2-5)和式(2-6),,正反傅氏变换可以抵消,直接得
(2-7)
为了实行基2FFT,也可将(2N-1)点换成2N点,这样做不影响结果的正确性。
巴特利特(Bartlett)平均周期图法
首先让我们来看一下为什么周期图经过某种平均(或平滑)后会使它的方差当时趋于零,达到一致估计的目的。如果是不相关的随机变量,每一个具有期望值,方差,则可以证明它们的数学平均的期望值等于,数学平均的方差等于,即:
所以
(2-8)
由(2-8)可见,L个平均的方差比每个