文档介绍：生成函数与指数生成函数的研究与应用
作者:陈功
学号:ZY1021104
摘要
,,,包括基本概念、,可以使人们对生成函数有一个比较清晰的认识,更加系统的掌握生成函数这一数学工具.
关键词: 生成函数;普通型生成函数;指数型生成函数
目录
1 生成函数与指数生成函数的研究与应用 I
1 前言 1
2 基本知识 2
2
3
4
3 通型生成函数模型 7
7
7
4 指数型生成函数模型 11
11
11
13
5 生成函数在递推关系中的应用 16
生成函数法在常系数线性齐次递推关系上的应用 16
生成函数法在常系数线性非齐次递推关系上的应用 18
6 生成函数在整数分拆中的应用 22
结论 24
目前国内外许多数学研究者都对生成函数的应用范围进行了大量的研究,,,通过大量的比较研究,比较系统的给出了生成函数的基本理论及其应用模型. 24
1 前言
生成函数又称母函数,是计数问题中既简单又精巧的数学模型,也是组合数学的一个重要理论和工具.
1720年前后De Moivre首先使用了组合生成函数,,《概率的分析理论》中明确提出“生成函数的计算”,书中对生成函数思想奠基人—Euler L在18世纪对自然数的分解与合成的研究做了延伸与发展,生成函数的理论由此基本建立.
曹汝成在生成函数中提出了车问题及其解法,Alan Tucker在应用组合数学中提出了生成函数系数的具体解法及一个求和的算法,、,使人们对生成函数有一个清晰的认识,比较简便的学会生成函数这一数学工具.
本文第二部分主要回顾了生成函数的基本概念及其性质,.
2 基本知识

计数问题是组合数学的一个重要内容,而生成函数又是解决计数问题的一个重要
的一般性的处理方法.
幂级数是我们所熟悉的多项式,我们定义为数列
的生成函数,通常记为[1] .
生成函数的中心思想是:首先使用多项式或幂级数把需要研究的数列合为一个整
体,通过研究多项式或幂级数的性质以及使用合并同类项的方法,来研究数列的性质,
从而得到相关的结论.
例如数列的生成函数是
这个生成函数的值为
用了非常简洁紧凑的方式显示了上述数列的序列信息.
下面列举了几个常见的生成函数[2].
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)

首先假定,序列{},{}的生成函数分别为
因为生成函数与数列之间是一一对应的关系,所以研究两个数列之间的关系可以转化为研究其生成函数的关系,这样就给解题带来了许多便利.
线性性质
(1) 若,则
(2) 若,则
乘积性质
(3) 若=,则
移位性质
(4) 若,则
(5) 若,则)
(6) 若,则=
(7) 若,则=,其中是收敛的
换元性质
(8) 若,则
求导与积分性质
(9) 若,则
(10) 若,则=

计算生成函数系数的方法是把比较复杂的生成函数化简为简单的二次式类型,或
若干个二项式类型的生成函数的积,.
牛顿