文档介绍：数学概念的分类、特征及其教学探讨
邵光华章建跃
概念教学在数学教学中具有关键地位,一直是数学教学研究的一个主题。当前的课改实践中,存在忽视数学概念的抽象逻辑建构特征,过于强调情境化、生活化、活动化的倾向,所以,应更深入地研究概念教学,以丰富概念教学法的知识并用于实践。
一、数学概念及其分类
数学概念是人类对现实世界空间形式和数量关系的概括反映,是建立数学法则、公式、定理的基础,也是运算、推理、判断和证明的基石,更是数学思维、交流的工具。一般地,数学概念来源于两方面:一是对客观世界中的数量关系和空间形式的直接抽象;二是在已有数学理论上的逻辑建构。相应地,可以把数学概念分为两类:一类是对现实对象或关系直接抽象而成的概念,这类概念与现实如此贴近,以致人们常常将它们与现实原型“混为一谈”、融为一体,如三角形、四边形、角、平行、相似等都有这种特性;另一类是纯数学抽象物,这类概念是抽象逻辑思维的产物,是一种数学逻辑构造,没有客观实在与之对应,如方程、函数、向量内积等,这类概念对建构数学理论非常重要,是数学继续发展的逻辑源泉。
二、数学概念的特征
20世纪80年代,国外有人提出,数学内容可以分为过程和对象两个侧面。“过程”就是具备可操作性的法则、公式、原理等;“对象”则是数学中定义的结构、关系。数学概念往往兼有这样的二重性,许多概念既表现为过程操作,又表现为对象结构。如对于“等于”概念,在数与式的运算中具有过程性,它表示由等号前的算式经运算得出等号后的结果的过程指向,在式的恒等变形中蕴涵着“往下继续算”的操作属性;而方程中“等于”的意义则不同,它没有过程指向性,只有结构意义,表示了等号两边代数式的一种关系。Sfard(1991,1994)等人的研究表明,概念的过程和对象有着紧密的依赖关系,概念的形成往往要从过程开始,然后转变为对象的认知,最后共存于认知结构中。在过程阶段,概念表现为一系列固定操作步骤,相对直观,容易模仿;进入对象状态时,概念呈现一种静态结构关系,有利于整体把握,并可转变为被操作的“实体”。
我们认为,关于数学概念特征的上述描述稍嫌抽象,为有利于教师把握,下面对数学概念的特征做更具体的描述。
。概念具有判定特征,指依据概念的内涵,人们便能判定某一对象是概念的正例还是反例。
。概念的定义就是对概念所指对象基本性质的概括,因而具有性质特征。
上述两个特征从另一个侧面表现了“概念的二重性”,判定特征有助于厘清概念的外延,性质特征有助于认识概念的内涵。
(运算过程或几何操作过程)。有些概念具有过程性特征,概念的定义就反映了某种数学过程或规定了操作过程。如:“分母有理化”着将分母变形为有理数(式)的操作过程;“平均数”概念隐涵着将几个数相加再除以个数的运算操作过程;“n的阶乘”蕴涵着从l连乘到n的运算操作过程;“向量的加法”概念规定了“形”(三角形法则)的操作过程;等等。
(思维的细胞,交流的语言词)。概念是一类对象的泛指,如三角形、四边形、复数、向量等概念都是某类对象的名称,泛指一类对象,又如复数的模,就是与复数a+bi(a,b∈R)对应的结构式√(a²+b²)。
。有些概念具有关系特性,反映了对象之间的关系,如垂直、平行、相切、异面直线、集合的包