文档介绍：高校应用数学学报
2013, 28(1): 43-50
一类高阶齐次微分方程解与其小函数
的增长性
金瑾
(毕节学院数学系, 贵州毕节 551700)
摘要: 本文研究了一类高阶齐次线性微分方程的解与小函数的关系,得到了齐次线
性微分方程的解以及他们的一阶导数,二阶导数与小函数的关系.
关键词: 线性微分方程; 整函数; 小函数
中图分类号:
文献标识码: A 文章编号: 1000-4424(2013)01-0043-008
§1 引言及主要结果
本文采用Nevanlinna值分布理论的标准记号[1-24], 用σ(f)、λ(f)和λ(f)表示亚纯函数f(z)的
增长级、零点收敛指数和不同零点收敛指数, 用λ(f −ϕ)和λ(f −ϕ)表示亚纯函数f(z)取小函数
的零点收敛指数和取小函数的不同零点收敛指数. 设二阶线性微分方程
00 a1z 0 a0z
f + A1(z)e f + A(z)e f = 0, (1)
[1]
其中Aj(z)(6= 0)(j = 0, 1)是整函数, 且σ(Aj) < 1, aj ∈ C − 0(j = 0, 1). 陈宗煊研究了微分方
程(1)的解的增长性问题, 大大推广和完善了Frei M[2], Ozawa M[3−4], Gundersen G[5], Langley
[6] 00 −z 0
J K 关于二阶线性微分方程f + e f + Q(z)f = 0(其中Q(z)为有限级整函数)解的增长性的
00 az 0 bz
结果. 徐俊峰和仪洪勋在文[7]中进一步研究了二阶微分方程f + A1(z)e f + A(z)e f = 0的
超越解与其小函数的关系.
本文在此基础上研究了高阶线性复微分方程
(k) ak−1z (k−1) ak−2z (k−2)
f + Ak−1(z)e f + Ak−2(z)e f + · · ·
a2z 00 a1z 0 a0z
+A2(z)e f + A1(z)e f + A0(z)e f = 0 (2)
的解f(z)与其小函数ϕ(z)的关系. 得到了下述结论:
收稿日期: 2012-03-12 修回日期: 2013-01-06
基金项目: 贵州省科学技术基金(2012GZ10526; 2010GZ43286); 贵州省教育厅科研基金(2007079); 贵州省毕节地
区科研基金([2011]02)
44 高校应用数学学报第28卷第1期
定定定理理理设Aj(z)(j = 0, 1, 2, · · · , k −1)是不恒为零的整函数, 且σ(Aj) < 1, aj (j = 0, 1, 2, · · · ,
k − 1)是非零复常数, 且a1 6= a0, a1 6= 2a0, 如果ϕ(z)是不恒为零的整函数且ϕ(z) < 1, 则微分方
程(2)的任意超越解f(z)都满足
λ(f −ϕ) = λ(f 0 −ϕ) = λ(f 00 −ϕ) = ∞.
§2 证明定理所需的引理
[8] aj z
引引引理理理1 假设Aj = hj(z)e (j = 0, 1, 2 · · · , k − 1), 其中hj(z)为不恒为零的整函数且级小