文档介绍：2012高考备考系列材料
突破新课标高考压轴题——导数
黑龙江哈尔滨李民
一、感受高考
1、2011年新课标文21(本小题满分12分)
已知函数,曲线在点处的切线方程为.
(I)求a,b的值; (II)证明:当x>0,且时,.
解:(Ⅰ)
由于直线的斜率为,且过点,故即
解得,。
(Ⅱ)(解法一)由(Ⅰ)得
要证,即证,
当时,即证
当时,即证
设,则
则分别在上或上是减函数,所以
当时,,即
当时,,即
综上,当时,
(Ⅱ)(解法二)由(Ⅰ)知,所以
考虑函数,则
所以当时,故
当时,
当时,
从而当
(Ⅱ)(解法三)
由(1)知.
故要证: 只需证
为去分母,故分x>1与0<x<1两种情况讨论:
当x>1时,需证
即即需证. (1)
设,则
由x>1得,所以在(1,+)上为减函数.
又因g(1)=0,所以当x>1时 g(x)<0 即(1)式成立.
同理0<x<1时,需证(2)
而由0<x<1得,所以在(0,1)上为增函数.
又因g(1)=0所以当0<x<1时 g(x)<0 即(2)式成立.
综上所证,知要证不等式成立.
2、2010年新课标文21(本小题满分12分)
设函数
(Ⅰ)若a=,求的单调区间;
(Ⅱ)若当≥0时≥0,求a的取值范围
解:(Ⅰ)时,,。
当时;
当时,;
当时,。
故的单调增区间为,,单调减区间为(-1,0)。
(Ⅱ)由得。
则题中条件当≥0时≥0,等价于当≥0时,≥0,
令,则。
若时,则当时,,为增函数,
而,从而当x≥0时≥0,即≥0.
若,则当时,,为减函数,
而,从而当时<0,即<0.
综合得的取值范围为
3、2009年新课标文21(本小题满分12分)
已知函数.
设,求函数的极值;
若,且当时,12a恒成立,试确定的取值范围.
解:(Ⅰ)当a=1时,对函数求导数,得
令
列表讨论的变化情况:
(-1,3)
3
+
0
—
0
+
增
极大值6
减
极小值-26
增
所以,的极大值是,极小值是
(Ⅱ)的图像是一条开口向上的抛物线,关于x=a对称.
若上是增函数,
从而上的最小值是最大值是
由于是有
由
所以
若a>1,则,则,即,产生矛盾。
即此时,当时,12a不恒成立,
所以使恒成立的a的取值范围是
4、2008年新课标文21(本小题满分12分)
设函数,曲线在点处的切线方程为。
(1)求的解析式;
(2)证明:曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值,并求此定值。
解:(Ⅰ)方程可化为.
当时,. 2分
又,
于是解得
故. 6分
(Ⅱ)设为曲线上任一点,由知曲线在点处的切线方程为
,
即.
令得,从而得切线与直线的交点坐标为.
令得,从而得切线与直线的交点坐标为. 10分
所以点处的切线与直线,所围成的三角形面积为
.
故曲线上任一点处的切线与直线,所围成的三角形的面积为定值,此定值为. 12分
5、2007年新课标文19(本小题满分12分)
设函数
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)求在区间的最大值和最小值.
解:的定义域为.
(Ⅰ).
当时,;当时,;当时,.
从而,分别在区间,单调增加,在区间单调减少.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在区间的最小值为.
又.
所以在区间的最大值为.
高考常用题型:
1、证明不等式(2011年新课标文-21(2))
构造函数,将不等式问题转化为最值问题。
2、确定(求)使得不等式恒成立的参数范围(2010年新课标文21(2)、2009年新课标文-21(2))
不等式恒成立问题利用高低原理转化为最值问题,常用手段:参变分离,求最值或上(下)确界(导数法求最值、均值不等式法求最值、二次函数法求最值)。
3、切线问题(2008年新课标文-21(2)、2011 -21(1)、2008 -21(1))
解决切线问题的关键是切点,有切点必用,无切点设切点再用(待定系数法)。
4、最值极值问题(2007年新课标文-19(2)、2009 -21(1))
5、单调区间问题(2010-21(1)、2007 -19(1))
解决单调区间、最值极值问题概括为“一表定乾坤”,并注意把“求定义域”前置到首步。
6、函数图象交点(个数)问题和函数零点(个数)问题
通常从单调性、极值或局部最值入手,结合函数图象(数形结合思想)。
小结:导数应用问题最终均可转化为切线、单调区间、最值(或极值)问题,只要把握导数几何意义,导函数值符号对函数的制约,再辅于高低原理和构造函数技巧,即可破解此类问题。
二、拓展高考
1、2010年