文档介绍：南华大学高数练习册第十章重积分
第一节二重积分的概念和性质
1. 解:(1)区域D如图10-1所示,由于区域D夹在直线x+y=1与x+y=2之间,显然有
图10-1
,从而,故有,所以
。
(2)区域D如图10-,当时,有,
图10-2
从而 ln(x+y)>1,故有,
所以。
2. 解:(1) 因为,从而:,
故,即,
而,所以。
(2)因为当时,,所以
;
故,
即,而,
所以。
3. 解:(1)在几何上表示以D为底,以z轴为轴,以(0,0,a)为顶点的圆锥的体积,所以。
(2)在几何上表示以原点(0,0,0)为圆心,以a为半径的上半球的体积,故
第二节二重积分的计算法
1. A D B C
:(1)相应二重积分的积分区域D:如图10-4所示:
图10-4
D亦可表示为:
所以
(2) 相应二重积分的积分区域D为:如图10-5所示.
图10-5
D亦可看成D1与D2的和,其中:D1:
D2:
所以.
: (1)
(2)
(3)由于被积函数中含有绝对值,去掉绝对值则把积分区域分成两个部分:
,
;
(4)由于被积函数中含有形式,且积分区域也含有形式,考虑采用极坐标形式,令,,则积分区域可表示为:
(5)由于被积函数中含有形式,且积分区域也含有形式,考虑采用极坐标形式,令,,则积分区域可表示为:
(6)令,,则积分区域可表示为:
(7)令,则,
又因为
.
:
在上式中,令,,积分区域为:,,则上式
所以:
第三节三重积分
1、A C C
2、解:(1)在直角坐标系下,区域Ω可表示为:;
故:
(2)

(3) 由及消去得,因而区域Ω在xOy面上的投影区域为,如图10-7所示,在柱面坐标系下:Ω可表示为:
图10-7
故

(4)积分区域Ω如图10-8所示。用球面坐标计算,在球面坐标系下Ω可表示为:
图10-8
故
3解:曲面围成的立体Ω如图10-9所示。
在柱面坐标系下,Ω可表示为:
图10-9
用柱面坐标可求得Ω的体积
第四节重积分应用
1、
2解:(1)令x=arcosθ,y=brsinθ,则在此变换下,D:变化为
:r≤1,即0≤r≤1, 0≤θ≤2π,且,所以:
(2)
3解:(1)Ω如图10-11所示。由对称性可知。
图10-11
(2)由对称性知,而
故物体重心为.
第十章综合习题
1、(1)C;(2)B;(3)C.
2、解:(1)
(2) 积分区域D如图10-12所示.
图10-12
D可表示为:
所以:
(3)因为求不出来,故应改变积分次序。
积分区域D:0≤y≤1, y≤x≤,如图10-14所示。
图10-14
D也可表示为:0≤x≤1,x2≤y≤x.
所以
(4)积分区域D如图10-16所示:
D亦可采用极坐标表示为:
π≤r≤2π, 0≤θ≤2π
所以
(5)积分区域D如图10-17所示.
图10-17
D可用极坐标表示为:
0≤θ≤, 1≤r≤2.
所以:
5、证明:题中所给累次积分的积分区域D为
a≤y≤b, a≤x≤y.
如图10-19所示:
图10-19
D也可表示为a≤x≤b,x≤y≤b,
于是:
6解: (1)闭区域D如图10-20所示。
图10-20
闭区域D的面积A为
所求重心为.
(2)闭区域D如图10-21所示:
图10-21
由于闭区域D关于x轴对称,所以,
又
故
所求重心为
7、解:图10-22
(1)积分区域如图10-23所示,在柱面坐标系下,Ω可表示为
图10-23
故

(2) 用球面坐标计算,令,,,由和得,,由得,在球面坐标系下Ω可表示为:
故:
;