文档介绍：第四节无穷小与无穷大
一、无穷小
二、无穷大
三、无穷小与无穷大的关系
四、小结思考题
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【无穷小产生的背景——第二次数学危机】
芝诺提出的四个著名的悖论:
第一个悖论是说运动不存在,理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路,而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去,它必须通过无限多个点,这在有限长时间之内是无法办到的。
第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。因为乌龟在他前面时,他必须首先到达乌龟的起点,然后用第一个悖论的逻辑,乌龟总在他的前面。
这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的
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第四个悖论是游行队伍悖论,内容大体相似
第三个悖论是说“飞矢不动”,因为在某一时间间隔,飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上,因而是静止的。
这两个悖论是反对空间、时间由不可分的间隔组成
这说明希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾。当然他们无法解决这些矛盾。
十八世纪的数学思想的确是不严密的、直观的、强调形式的计算,而不管基础的可靠与否,其中特别是:没有清楚的无穷小概念,因此导数、微分、积分等概念不清楚;对无穷大的概念也不清楚;发散级数求和的任意性;符号使用的不严格性;不考虑连续性就进行微分,不考虑导数及积分的存在性以及可否展成幂级数等等。
例如以求速度为例,瞬时速度是Δs/Δt当Δt趋向于零时的值。Δt是零、是很小的量,还是什么东西?这个无穷小量究竟是不是零?这引起了极大的争论,从而引发了第二次数学危机。
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一直到十九世纪二十年代,一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础。它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始,最终由威尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成,中间经历了半个多世纪,基本上解决了矛盾,为数学分析奠定了一个严格的基础。
波尔查诺不仅承认无穷小数和无穷大数的存在,而且给出了连续性的正确定义。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始,认识到函数不一定要有解析表达式。他抓住了极限的概念,指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量,并定义了导数和积分;阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和;狄里克莱给出了函数的现代定义。
在这些数学工作的基础上,维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方,给出现在通用的ε- δ的极限、连续定义,并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上,从而克服了危机和矛盾。
十九世纪七十年代初,威尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论,而且在实数理论的基础上,建立起极限论的基本定理,从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。
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一、无穷小
1.【直观定义】
极限为零的变量称为无穷小
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【例如】
【注意】
(1)无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
(2)零是可以作为无穷小的唯一的常数.
(3)说一个量是无穷小,必须指明其变化过程
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:
【证】
【定理1】
时,有
对自变量的其它变化过程类似可证.
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【意义】
(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 牛—莱称《无穷小分析》
【补例】
写成其极限值与一个无穷小之和的形式.
【解】
故f (x)能写成其极限值与一个无穷小之和.
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二、无穷大
1. 【直观定义】绝对值无限增大的变量称为无穷大
的 x , 总有
则称函数
当
时为无穷大,
使对一切满足不等式
①
(或正数 X ) ,
记作
【精确定义2】设f(x)在内有定义(或|x|大于
某一正数时有定义), 若任给 M > 0 ,总存在
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【特殊情形】正无穷大+∞,负无穷大-∞.
【注意】
(1)无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
常数中不存在无穷大.
(3)无穷大是一种特殊的无界变量,而无界变量未必是无穷大,但它至少有一个无穷大子列
(2)
若上述定义中将①式改为
则记作
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