文档介绍：编号
学士学位论文
定积分的应用

系部:数学系
专业:数学与应用数学
中文摘要
定积分是一元函数积分学中的另一个基本概念,它是从大量的实际问题中抽象出来的在自然科学与工程技术中有着广泛的应用,该论文主要讨论从几何问题物理问题出发叙述应用定积分解决各种问题的优越性。
关键词:微元;体积;面积;参数方程;重心;旋转体;变化率为;
中文摘要 1
引言 1
1. 定积分的应用 1
1
1
2
7
2. 应用定积分求旋转体的体积 8
. 8
9
13
13
15
15
16
总结 17
参考文献 18
致谢 19
引言
定积分在数学,物理上有好多个应用比如:求曲边梯形的面积,旋转体的体积,物体的重心,变力做功,转动惯量等等,为什么把这些问题应用定积分来计算?答案是很简单这些问题都与求和有关系,但是求和没那么容易事所以必须用定积分这工具来解决。
1. 定积分的应用
定积分在几何,物理及经济上有广泛的应用。
首先我们介绍以下定积分这个概念。
定义:设是定义在上的一个函数,是一个确定的实数。若>0,>0,使得对的任何分割,以及在其上任意选取的点集,只要<,就有
<,
则称函数在区间上可积或数称为在上的定积分,记作
下面我们介绍以下定积分若干方面的应用。

我们用什么样的方法把定积分应用在几何方面的问题?
我们引入微元法这一概念。

以曲边梯形面积为列,如图曲边梯形
选取一个变量为积分变量,并确定其变化区间在区间上任取一个小区间并记为。

图1-1
以点处的函数值为高,以为底的矩形面积作为
其中称为面积微元,记为

于是面积为

直角坐标系下平面图形的面积。
设函数在上连续求由曲线及直
线(<)所围成图形的面积。
分析:在上任取小区间设此小区间上的面积为,它近
似于高为底为的小矩形面积,如图1-2所示,从而的面积
微元为

以为被积表达式,在区间作定积分
图1-2
就是所求图形的面积在这个公式中无论曲线在轴的上方与下方都成立,只要在下方即可。
例求由曲线所围成平面图形的面积。
分析:先对曲线进行分析,显然曲线有无穷多个零点。
且。

时,

我们可以画出草图如图1-3.
进一步分析可知:
时,,
时,. 图1-3
所求面积

解:由于

可得

求由曲线及直线所围成图形面积在区间上任取小区间,设此小区间上的面积为,则近似于高为,低为的小矩形面积,从而得面积微元
于是所求面积为
。

,
分析:对参数方程所围图形,与直角坐标图形相似,必须讨论其所给曲线的几何特征,尔后确定积分变量被积函数及积分区间。
解:函数为周期(针对变量t而言)函数,因而在直角坐标系中只须考虑0≤t≤2范围内的叁数方程即可,原方程可变形为
, 0≤t≤2.
时,,↗,↗此时,曲线单升,至最右点为。时,↘,↗,曲线至最左点为
,↘,↘,曲线至最左点为.
,↗,↘,曲线至最低点为
,↗,↗,曲线至点,
,↘,↗,曲线至点
图象如图1-4所示

图1-4

设曲线的极坐标方程在上连续,且,求此曲线与射线所围成的曲边扇形的面积如图1-3所示,在区间上任取一个小区间设此小区间上曲边扇形的面积,则近似于半径为中心角为的扇形面积,从而得到面积微元为可得面积为
例1..利用定积分求曲线围成面积。