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一九九年上海第工业大学学报
第一期
同余关系
朱楠德
应教学摹
●
据薹
.半群、余关系· 导出同余类半群/ ,
计论了由同余关系诱导出的子半拜,理想, 子独异
点和正规子群: 还特井讨论群上同余类在和意
义下的势, 最后讨论群上同余关系和正规子群的彼此确定。
关键词等价关系同余关系子半群子群势
§.半群上的同余关系
设是一个非空集合, 是上的等价关系,并约定把关系的自反律
货,减弱为:
砑, ×
,
逮并不影响在原来定义下等价关系的性质,反而使之更一般化。我们用钟表示
的等价类
毋砑,, ,
定理.,曰是集合上的等价关系,贝』
砑, , , .
证明; 若, ×, 由传递律和自反律,对∈有
, ●
≥蜀,八,
八翊,
。,
.
同样可证得≥舅., 所以
反之,若砑,则
, 砑毋,
证毕。
考虑研的截集辫,它是上的等价关系,容易证明
丰文年月日收弼
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同余关系
推论.. / : /研· ,这里“”表示集合的势, /研∈,/
·是关于· 的商集
定义. 是半群, 是上的等价关系。如果满足
,≥,八,,, ,,∈
就称是上的同余关系.
,可完全无异地移到半群上,
并若假定其自反律也服从予式,那么就有
定理. 容似关系与同余关系等价。
●证明:只需证明式和中的相容性等价即可, 而由式推出研的相容性是显然
的,若相容, 则
, ≥,, ,
≥毋】,研】,
即式成立,证毕。
定理. 是半群,砑∈.”,则研是上的同余关系, 当且仅当的
任一非空截集研是上的同余关系。
证明:若砑是上的同余关系, 则是等价关系, 因此是的等
价关系, 今设,∈,,砑,则, ≥,研,≥, 则
掰】】, ≥研,≈, ≥.
即,砑,所以砑是同余关系.
反之,若任一掰是的同余关系, 则‘∈砑×,事实上, 如果砑×是有限
集, 则结论是明显的,若砑是无限集,取收敛予的递增序列;
: ⋯。⋯,。
则砑。是的等价关系,所以∈,,∈则,≥,从而狂,≥。,
则毋, ∈砑,郎自反,关于的对称性和传递性自然成立,因为在这里我
们并没有更动对称性和传递性的意义,因此是等价关系,
又令”,】,±∈, 由于
,∈砑,, 研, , 毋, ”
及是同余关系,所以
, ∈“
即
砑】】, ≥,: ,:.
.
下面的引理是中命题之在独异点上的一般形式。
理】. 是独异点, 是上的同余关系, 则
若∈可逆, 则. ,.,一.
若∈可逆, 则,: ,
证明: 这里仅证:
:, ,:,】
》】【,】毋,
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上海第二工业大学学报:年第期
毋,。‘
: 毋,一‘
≥毋伍~ ,毋:,
,.
证毕.
引理. 是独异点,劈是上的同余关系.,都可逆,鲥身一,
毋,.
证明;
●
毋。, 。, ’。毋, ,.
证毕.
下面的~ 个结论是明显的,
定理. 卿是上的同余关系