文档介绍：(如图9-1),L上各点的密度为二元连续函数ρ=ρ(x,y),求这曲线的质量。把L分成n个小弧段:Δs,Δs,…,Δs,其中Δs(i=1,2,…n)也表示这些小弧段的长度。在Δs上任取一点(ξ,η),由于线密度函数是连续的,因此当Δs很小时,Δs的质量∆m便可近似地表示为:∆m≈ρ(ξ,η)Δs,于是整个金属曲线地质量近似于M≈ρ(ξ,η)={Δs},令λ0取上式和式的极限,得M=ρ(ξ,η)(对弧长的曲线积分)的定义定义:设L为xoy平面内的曲线弧,是L上的有界函数,把L分成n个小弧段:Δs,Δs,…,Δs,其中Δs(i=1,2,…n)={Δs},在每个小弧段Δs上任取一点(ξ,η),作和式Δs,如和式极限Δs存在,且极限值与L的分法和点(ξ,η)在Δs上的取法无关,则称此极限值为函数ƒ(x,y)在曲线L上的第一型曲线积分或称为对弧长的线积分,记作,即=Δs称为被积函数,:同前面一样,,,:显然物体M的质量为:M=注3:类似地,我们可定义对于空间曲线弧的曲线积分:=注4:若L为闭曲线,(i=1,2…n)存在,C(i=1,2,…n)为常数,则=性质2:如按段光滑曲线L由曲线L,L,…,L首尾相接而成,且(i=1,2,…n)都存在,则=性质3:若,都存在,且在L上,则性质4:若存在,则也存在,且有性质5:若存在,L的弧长为S,则存在常数C,使得=:定理:设曲线L的方程为:,,,其中,在上具有连续的一阶导数,为L上的连续函数,则有=证:详细的证明书上有,大家自己看,现在我们从另外一方面来说明这个问题:我们用来表示L上的以为取值区间所对应部分的弧长,则有=.文档来自于网络搜索两边求微分,得进而:又当在L上变化时,相应地在上取值,故=.(注:并非严格的证明)注1:若L的方程为,则=若L的方程为,,则=2:若空间曲线的方程为:,,,.则有=3:,一定满足:,在这里的L(或)是无向曲线弧段,(或)>0>0文档来自于网络搜索从而当很小时,>,应有>0>,[例1]:设L是半园周::===[例2]:设为球面被平面所截的圆周,:根据对称性知=====的弧长===i+j的作用沿平面曲线L运动,求当质点从L的一端点A移动到另一端点B时,力所做的功W.(这里假设,在L上连续)文档来自于网络搜索首先,对有向曲线L作分割:用点M,M,…,M与M=A,M=B将L分成n个小段(i=1,2…n).={Δs},当很小时,有向的小弧段可用有向的直线段来代替:=i+j,其中=,=.而,(ξ,η).当很小时,由于,在L上连续,故可用在(ξ,η)点处的力=i+j来近似代替上其它各点的力,因此变力在小弧段上所作的功,.=+文档来自于网络搜索所以W=.且当时,有W=.(对坐标的曲线积分)的定义定义:设L是面上从点A到点B的有向光滑曲线,,在L上有界,把L分成n个小弧段Δs,Δs,…,Δs,其中Δs(i=1,2,…n)(i=1,2,…n)上任取一点(ξ,η),做和式,={Δs},如果极限存在,且极限值与L的分法及点(ξ,η)在Δs上的取法无关,则称此极限值为函数,在有向曲线弧L上的第二型曲线积分或对坐标的曲面积分,记作文档来自于网络搜索即有:=,其中,称为被积函数,,当,都在L上连续时,,在L上连续文档来自于网络搜索注1:完全可以类似地扩到空间曲线上,得2:当L为封闭曲线时,常记为:3:这两类线积分,除了形式上不同之外,还有一关键性区别在于:第一类线积分与L的方向无关,而第二类线积