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目录
摘要 1
关键词 1
Abstract 2
Key words 2
1 引言 2
2 准备知识 2
3 在应用积分中值定理时应注意以下几点 3
4 积分中值定理的简单应用 4
在力学中的应用 4
确定定积分的符号 5
求含有定积分的极限 6
估计定积分 7
证明积分不等式 8
判断某些点的存在问题 9
求与有关收敛有关的问题 10
积分中值定理的简单应用
(吉首大学数学与统计学院湖南吉首 416000)
摘要:本文综合归纳了积分中值定理在力学、确定定积分符号、求含有定积分的极限、估计定积分、证明积分不等式、判断某些点的存在问题及求与收敛有关问题的应用.
关键词:积分第一中值定理;推广的积分中值定理;估计定积分
The application about intermediate value theorem of integral
Zhang Yan-fang
(college of mathematics and statistics , JiShou university, JiShou hunan 416000)
Abstract: This paper reviews and summarizes the application of stationary functional theory in integration, mainly regarding to the field of machanics, determining the signs for definite integrals, evaluating the limit of the dedinite integral, estimating the definite integral, evidencing the definite integral inequality, judging the exist problems related to it and finding solution to convergence problem.
Key words: Intermediate value theorem of integral ;Extension intermediate value theorem of integral ;Estimate definite integral
引言
积分中值定理是数学分析中一个基本定理之一,同时也是定积分的一个主要性质,它建立了积分和被积函数之间的关系,,文中就积分第一中值定理以及推广的积分第一中值定理的应用进行讨论.
准备知识
定理 [1] (积分第一中值定理) 若在区间[a,b]上连续,则在(a,b)内至少存在一点使得
[1] (推广的积分第一中值定理)若在上连续,且在上不变号,则在至少存在一点,使得
,
在应用积分中值定理时应注意以下几点
(1),否则结论不成立.
例如:
显然在处间断, 由于
=0
但在上,,所以,对任何都不能使
(2)
例如: 令由于
但
所以不存在使
积分中值定理的简单应用
在力学中的应用
(1)求平均速度
设速度函数在时间区间内连续,,有
由力学知识知,物体的位移,则
即就是物体的平均速度.
例1 当物体做匀变速直线运动时,即时内的平均速度:
所以
这个结果说明,只有当速度函数对时间均匀变化时,平均速度等于内始、末速度的算术平均值.
(2)求对空间累积的平均作用力
设力在位置区间内连续,根据定积分中值定理,有
相对位移