文档介绍：几何探究题
(1)如图1,图2,图3,在中,分别以为边,向外作正三角形,正四边形,正五边形,相交于点.
①如图1,求证:;
②探究:如图1, ;
如图2, ;
如图3, .
(2)如图4,已知:是以为边向外所作正边形的一组邻边;.
①猜想:如图4, (用含的式子表示);
②根据图4证明你的猜想.
(1)①证法一:与均为等边三角形,
, 2分
且 3分
,
即 4分
. 5分
证法二:与均为等边三角形,
, 2分
且 3分
可由绕着点按顺时针方向旋转得到 4分
. 5分
②,,. 8分(每空1分)
(2)① 10分
②证法一:依题意,知和都是正边形的内角,,,
,即. 11分
. 12分
,, 13分
,
14分
证法二:同上可证. 12分
,如图,延长交于,
,
13分
14分
证法三:同上可证. 12分
.
,
13分
即 14分
证法四:同上可证. 12分
.如图,连接,
. 13分
即 14分
注意:此题还有其它证法,可相应评分
请阅读下列材料:
问题:如图1,在菱形和菱形中,点在同一条直线上,是线段的中点,,探究与的位置关系及的值.
小聪同学的思路是:延长交于点,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.
D
C
G
P
A
B
E
F
图2
D
A
B
E
F
C
P
G
图1
请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:
(1)写出上面问题中线段与的位置关系及的值;
(2)将图1中的菱形绕点顺时针旋转,使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.
(3)若图1中,将菱形绕点顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出的值(用含的式子表示).
⑴线段与的位置关系是;
. 2分
⑵猜想:(1)中的结论没有发生变化.
证明:如图,延长交于点,连结.
是线段的中点,
.
D
C
G
P
A
B
E
F
H
由题意可知.
.
,
.
,.
四边形是菱形,
,.
由,且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上,
可得.
.
四边形是菱形,
.
.
.
,.
.
即.
,,
,.
. 6分
⑶. 8分
如图,等腰梯形ABCD中,AB=4,CD=9,∠C=60°,动点P从点C出发沿CD方向向点D运动,动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.
(1)求AD的长;
(2)设CP=x,问当x为何值时△PDQ的面积达到最大,并求出最大值;
(3)探究:在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形?若存在,请找出点M,并求出BM的长;不存在,请说明理由.
(第25题图)
)
(备用图)
(1)解法一:如图25-1
过A作AE⊥CD,垂足为E .
依题意,DE=. …………………………2分
在Rt△ADE中,AD=. ………5分
图25-1
解法二:如图25-2
过点A作AE∥BC交CD于点E,则CE=AB=4 . …2分
∠AED=∠C=60°.
又∵∠D=∠C=60°,
∴△AED是等边三角形.
∴AD=DE=9-4=5 . …………………………………5分
(2)解:如图25-1
图25-2
∵CP=x,h为PD边上的高,依题意,△PDQ的面积S可表示为:
S=PD·h ………………………………………6分
=(9-x)·x·sin60°
=(9x-x2)
=-(x-)2+. ………………………………………………… 8分
由题意,知0≤x≤5 . ……………………………………………………… 9分
当x=时(满足0≤x≤5),S最大值=. …………………………… 10分
(3)证法一:如图25-3
假设存在满足条件的点M,则PD必须等于DQ . ………………………… 11分
于是9-x=x,x=.
此时,点P、Q的位置如图25-3所示,连QP .
△PDQ恰为等边三角形.
过点Q作QM∥DC,交BC于M,点M即为所求.
连结MP,以下证明四边形PDQM是菱形.
图25-3
易证△MCP≌△QDP,∴∠D=∠3 . MP=PD
∴MP∥QD , ∴四边形PDQM是平行四边形.
又MP=PD , ∴四边形PDQM是菱形. ………………………………… 13分
所以存在满足条件的点M,且BM=