文档介绍：构造向量巧解有关不等式问题
陈静
新教材中新增了向量的内容,其中两个向量的数量积有一个性质:(其中θ为向量a与b的夹角),则,又,则易得到以下推论:
(1);
(2);
(3)当a与b同向时,;当a与b反向时,;
(4)当a与b共线时,。
下面例析以上推论在解不等式问题中的应用。
一、证明不等式
例1 已知。
证明:设m=(1,1),,则

由性质,得
例2 已知。
证明:设m=(1,1,1),n=(x,y,z),则

由性质
例3 已知a,b,c,求证:。
证明:设,,
则

由性质,得
例4 已知a,b为正数,求证:。
证明:设

由性质,得

例5 设,求证:。
证明:设m=(a,b),n=(c,d),则

由性质,得

二、比较大小
例6 已知m,n,a,b,c,d,那么p,q的大小关系为( )
A. B. C. p<q D. p,q大小不能确定
解:设,,则

由性质得

即,故选(A)
三、求最值
例7 已知m,n,x,y,且,那么mx+ny的最大值为( )
A. B.
C. D.
解:设p=(m,n),q=(x,y),则
由数量积的坐标运算,得
而
从而有
当p与q同向时,mx+ny取最大值,故选(A)。
例8 求函数的最大值。
解:设,则

由性质,得

当
四、求参数的取值范围
例9 设x,y为正数,不等式恒成立,求a的取值范围。
解:设,则

由性质,得

又不等式恒成立
故有
黑龙江省大庆市66中学(163000)
年级
高中
学科
数学
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构造向量巧解有关不等式问题
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辅导与自学
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构造向量巧解有关不等式问题
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