文档介绍：用圆锥曲线巧解一类二次无理不等式
设f1(-c,0),f2(c,0)(c>0). 若+=2a(a>c)时,点p(x,y)的轨迹为椭圆;若-=2a(c>a>0)时,点p(x,y)的轨迹为双曲线. 因此,一些与二次根式和或差有关的无理不等式,用圆锥曲线方程可获简捷解法.
我们把圆锥曲线包含其焦点的区域叫作圆锥曲线的内部,不包含焦点的区域叫圆锥曲线的外部. 设椭圆或双曲线的左、右焦点分别为f1(-c,0),f2(c,0).
设a>c>0,则点p在椭圆内部的充要条件是pf1+pf22a.
设c>a>0,则点p在双曲线外部的充要条件是pf1+pf22a,点p在双曲线左支内部的充要条件是pf2-pf1>2a.
下面我们用圆锥曲线解含两个二次根式和或差的无理不等式.
例1. 解不等式+≥10.
解:原不等式化为:
+≥10.(1)
设+=10. (2)
由椭圆定义知(2)式以f1(-3,0),f2(3,0)为焦点,长轴长为10的椭圆,
即:+=1 (3)
则原不等式就是如图1中,直线y=1位于椭圆(3)外部部分的横坐标. 椭圆(3)中令y=1,则有x=±,即原不等式的解集为:
x|x≤-,或x≥.
例2. 解不等式-2.
解:原不等式化为:
+>2. (1)
设+=2. (2)
由(2)式知:点p(x,y)的轨迹是中心在原点,以f1(-2,0),f2(2,0)为焦点,实轴长为2的双曲线,由c=2,a=1知:b=,所以此双曲线方程为:
x2+=1 (3)
原不等式就是如图3中,直线y=3位于双曲线(3)右支内部部分的横坐标,因此(3)中令y=3,x>0解得x=2.
∴原不等式的解集为:{x|x>2}.