文档介绍：狄拉克符号
前面曾经指出,一个量子态相当于一个态矢量。在希尔伯特空间中选定一组基矢,即选定表象后,它可以用在这组基矢上的投影即矢量的分量表示,这就是波函数。与高等数学中表示一个矢量,可以不引入坐标系不用它的分量而直接用矢量表示相似,在量子力学中表示一个量子态也可以不用引进具体表象,不用波函数,直接用矢量的符号表示。而且,还可以直接引进矢量运算,例如标量积等。这就是狄拉克符号。
以符号表示一个态矢量,称为刃矢,或简称刃,为表示某一个确定的刃矢,常将写在中即。由于量子力学中的波函数可以是复数,或者说,希尔伯特空间是复空间,因此相应的态矢量是个复矢量。故而除了刃矢
狄拉克符号
外,还有它的共轭复式,记作,称为刁矢,或简称刁。表示一个确定刁矢的狄拉克符号是。如同一个复数的实部和虚部是两个独立的部分一样,刃矢和刁矢也是性质不同的相互独立的矢量。选定表象后,它们在不同表象中的相应分量互为共轭复数,例如选定表象, 在表象中的分量为,可将他们排列成一个列矩阵
这就是波函数。在表象中的分量,可将他们排成一个行矩阵。是的共轭矢量。
狄拉克符号
现在讨论如何用狄拉克符号对表示态矢和算符,以及进行态矢量运算:
标量积
在同一表象中, 和相应的分量的乘积之和称为与的标量积,简称标积。记作
()
()
显然,标积满足:
()
若,则称态矢量和正交。归一条件为
狄拉克符号
若、为某一线性厄米算符对应于本征值和的本征态,将和分别记为和,则其正交归一条件为
()
若能谱为连续谱,比方坐标算符的本征矢的正交归一条件是
()
()
在动量算符的本征矢正交归一条件是
()
代入()式得:
狄拉克符号
完备系和态矢量的狄拉克符号表示
()
由于厄米算符的本征函数组成完备系,因而表示这些本征函数的刃矢(或刁矢)也组成完备系,记作(或)。态矢量可用这套刃矢展开:
()
展开系数为
定义算符为
()
狄拉克符号
它对任何矢量的运算,相当于把这个矢量投影到基矢上去,使它变成在基矢方向上的分量,即
()
称为投影算符。由() 式可以看出,由于任意, 有
()
()
这就是本征函数的完备性。如果在坐标表象下,上式可写为
如果在动量表象下,可写为
()
狄拉克符号
如果在某一本征函数系既有分离谱又有连续谱,完备性为:
()
()
()
在表象中,态和的标积可写成:
狄拉克符号
算符的狄拉克符号表示
()
算符作用在态矢量中,得出另一个态矢量
现在在表象中将算符用狄拉克符号表示,由
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所以
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就是公式的狄拉克符号表示。
的本征方程
()
狄拉克符号
在表象中的表示是
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()
()
即
或写成
()
平均值公式
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在表象中,上式写为
狄拉克符号
表象变换的狄拉克符号表示
设表象的基矢为, 表象的基矢为, 在表象中的表示为
()
在表象中的表示为
()
虽然有
()
对于狄拉克符号,我们列出一个它和普通表象中的对照表。