文档介绍：羇第4章柯西-黎曼积分及其应用和推广蚇与牛顿-莱布尼茨积分不同,柯西-,所以我们也只能用“无限接近”地说法来定义柯西-,关于柯西-黎曼积分地性质,§4-1柯西--:螆肂把区间划分成个小区间,,建议把函数在区间上地积分定义为“极限”资料个人收集整理,勿做商业用途螃(图4-1)蝿【注意】不能把其中地改写为,-1xi薈图4-1羆Oax1袄xn-1bx羃芇肆A芅B蒀莀膆蒂膂肈膆袂后来,德国数学家黎曼(Riemann,1826─1866),国内多数教科书中都采用黎曼关于积分地下述定义(图4-2):资料个人收集整理,勿做商业用途薀袇图4-2芆y芃节xn-1bx袀xi-1xi莆Oax1蚄螀虿蒅肅蒂蒈薅膂羀膇设函数定义在有限(开、闭或半开半闭),用任意划分方法(记为)把区间划分成个小区间:薃蚂第二步,在每一个小区间上都任意取一点,如在第个小区间上取地那一点记为,做出积分和芀螅第三步,让所有小区间都无限变小,即让最大小区间地长度,若有极限羄聿而且与区间地划分方法和每一个小区间上那一点地选取方法都无关,则称函数在区间上可积分(简称可积),并称极限值资料个人收集整理,勿做商业用途聿(4-1),你可按“划分区间做出积分和取极限”,极限(4-1)不是第1章中说地函数极限,因为其中地积分和不仅与划分区间地方法有关,,需要用近代极限概念地“”说法,即极限(4-1)地定义是资料个人收集整理,勿做商业用途袁任意给定正数(不论它多么小),都有对应地正数,使对区间地任意划分和点地任意选取,只要最大小区间地长度,,你要阅读本篇有地注释和第二篇时,-黎曼积分同牛顿-莱布尼茨积分是有区别地[见后面地注释③].为了把两者区别开来,后来人们把它们分别记成了资料个人收集整理,勿做商业用途艿与袀现在,除数学史书外,人们说地积分都是指柯西-,以后若不特别声明,记号就表示柯西-,勿做商业用途羅特别,对于有限区间上地常值函数来说,因为对于区间地任意划分方法,总有袂羁所以蕿肅特别,,.:蚃莈证如图4-3:膄螄a膁[]膇b芄·············膅x袃膀莄节莁罿图4-3资料个人收集整理,勿做商业用途莄蚃肃蚈螈因为函数是可积地,所以可将区间分成等份,,积分和数为肄蒀因此,螁袈蒄柯西指出,积分地存在性是要证明地,-黎曼积分地定义,资料个人收集整理,勿做商业用途节无界函数不可积[见后面注释①],有界函数也不一定可积[见后面注释②].葿因此,,由他地同胞达布(,1842-1917)证明了有界函数可积地充分必要条件(可积准则).根据它可以证明:资料个人收集整理,,可积函数也可能有无穷多个间断点!上面指出地这些结论,【注释】芈①无界函数不可积(或可积函数必有界),即只要足够接近点,,当把区间任意划分成个小区间时,可以适当地选择点所在地小区间上那个点,使足够大,以致使积分和数资料个人收集整理,勿做商业用途羈羂地绝对值也足够大(如大于预先给出地任何正数).因此,当最大小区间地长度时,积分和数地绝对值(随着那个点地适当选择),不可能会有极限资料个人收集整理,(逆否命题):②有界函数不一定可积例如狄利克雷函数(见第0章):莃(为有理数),(为无理数).袀将区间任意划分成个小区间后,总有肀(小和)(为无理数);膇(大和)(为有理数).螄因为,-4③函数螂(见图4-4)莇在含点地任何区间上没有原函数(见§2-4),蒇因此它在这个区间上没有牛顿-,螃它有柯西-黎曼积分,因为腿葿而函数薇膃地导数袁膈有原函数,所以函数在任何