文档介绍：第4章柯西-黎曼积分及其应用和推广
与牛顿-莱布尼茨积分不同,柯西-黎曼积分是建立在近代极限理论的基础上。由于本篇中暂时避开了近代极限理论,所以我们也只能用“无限接近”的说法来定义柯西-黎曼积分。同样,关于柯西-黎曼积分的性质,我们也只能用几何图形来说明。
§4-1 柯西-黎曼积分的定义及其性质
-:
把区间划分成个小区间,,建议把函数在区间上的积分定义为“极限”
(图4-1)
【注意】不能把其中的改写为,因为时不一定有.
y
xi-1 xi
图4-1
O a x1
xn-1 b x
A
B
后来,德国数学家黎曼(Riemann,1826─1866 ),国内多数教科书中都采用黎曼关于积分的下述定义(图4-2):
图4-2
y
xn-1 b x
xi-1 xi
O a x1
设函数定义在有限(开、闭或半开半闭)区间上.
第一步,用任意划分方法(记为)把区间划分成个小区间:
第二步,在每一个小区间上都任意取一点,如在第个小区间上取的那一点记为,做出积分和
第三步,让所有小区间都无限变小,即让最大小区间的长度,若有极限
而且与区间的划分方法和每一个小区间上那一点的选取方法都无关,则称函数在区间上可积分(简称可积),并称极限值
(4-1)
为函数在区间上的积分.
上述定义比较长,你可按“划分区间做出积分和取极限”,极限(4-1)不是第1章中说的函数极限,因为其中的积分和不仅与划分区间的方法有关,,需要用近代极限概念的“”说法,即极限(4-1)的定义是
任意给定正数(不论它多么小),都有对应的正数,使对区间的任意划分和点的任意选取,只要最大小区间的长度,就有
,你要阅读本篇有的注释和第二篇时,就必须记住它.
柯西-黎曼积分同牛顿-莱布尼茨积分是有区别的[见后面的注释③].为了把两者区别开来,后来人们把它们分别记成了
与
现在,除数学史书外,人们说的积分都是指柯西-,以后若不特别声明,记号就表示柯西-黎曼积分.
特别,对于有限区间上的常值函数来说,因为对于区间的任意划分方法,总有
所以
特别,,.
例1 :
证如图4-3:
a
[ ]
b
· · · · · · · · · · · · ·
x
图4-3
因为函数是可积的,所以可将区间分成等份,,积分和数为

因此,
柯西指出,积分的存在性是要证明的,-黎曼积分的定义,
无界函数不可积[见后面注释①],有界函数也不一定可积[见后面注释②].
因此,,由他的同胞达布(,1842-1917)证明了有界函数可积的充分必要条件(可积准则).根据它可以证明:
只有有限个间断点的有界函数或单调有界函数也都是可积分的.
请注意,可积函数也可能有无穷多个间断点!上面指出的这些结论,将