文档介绍：2013年重庆中考24题
以平行四边形为载体
,□ ABCD中,E是BC边的中点,连接AE,F为CD边上一点,且满足∠DFA=2∠BAE.
(1)若∠D=105°,∠DAF=35°.求∠FAE的度数;
(2)求证:AF=CD+CF.
(1)解:∵∠D=105°,∠DAF=35°,∴∠DFA=180°-∠D-∠DAF=40°.
∵□ ABCD,∴AB∥CD,AB=CD.
∴∠DFA=∠FAB=40°.
∵∠DFA =2∠BAE,
∴∠FAB =2∠BAE.
即∠FAE+∠BAE =2∠BAE.
∴∠FAE=∠BAE.
又∵∠FAB=∠FAE+∠BAE=40°,∴2∠FAE=40°,∴∠FAE=20°.
(2)证明:在AF上截取AG=AB,连接EG,CG.
∵∠FAE=∠BAE,AE=AE,∴△AEG≌△AEB.
∴EG=BE,∠B=∠AGE.
又∵E为BC中点,∴CE=BE.
∴EG=EC,∴∠EGC=∠ECG.
∵AB∥CD,∴∠B+∠BCD=180°.
又∵∠AGE+∠EGF=180°,∠AGE=∠B,
∴∠BCF=∠EGF.
又∵∠EGC=∠ECG,∴∠FGC=∠FCG,∴FG=FC.
又∵AG=AB,AB=CD,∴AF=AG+GF=AB+FC=CD+FC.
,对角线AC⊥AB,∠BAC与∠ACB的角平分线交于点E,过E作EF∥BC分别交
AC,DC于G,F,过E作EH∥AB分别交AC,AD于K,H。
(1)若∠B=60o,CF=2,求EG的长;
(2)求证:GF=GK+KH。
,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,且E为BC的中点,tanB=2,P为BC上一点,连接DP,作EF⊥DP于点F,连接AF。
(1)若AD=4,求AE的长;
(2)求证:AF+EF=DF
以矩形为载体
1. 已知:如图,在矩形ABCD中,=PC,AP⊥,连接DP,过点P作PM⊥PD交AD于M.
(1)若AP=,AB=BC,求矩形ABCD的面积;
(2)若CD=PM,求证:AC=AP+PN.
,在矩形ABCD中,点M、N在线段AD上,∠MBC=∠NCB=60o,点E、、BC上的点,连接EF并延长,交MB的延长线于点G,EF=FG.
(1)点K为线BM的中点,.若线段AK=2,MN=3,求矩形ABCD 的面积;
(2)求证:MB=NE+BG.
以正方形为载体
1.(原创)如图,在正方形ABCD中,E是BC上一点,∠DCF=45o,FG⊥CD于F,AE⊥EF。
(1)若AB=4,BE=3,求AF的长度;
(2)求证:AB=CE+FG。
,E是正方形ABCD的边CD上一点,连接AE,过A作AF⊥AE交CB的延长线于F,连接EF,取EF的中
点P,连接AP、BP.
(1)若AB=2,∠DAE=30°,求四边形ABCE的面积;
(2)求证:∠BPF=45°-∠BAP.
(1)解:∵正方形ABCD的边AB=2,∴AD=AB=2,∵∠DAE=30°,∴AE=2DE,
在Rt△ADE中,AD2+DE2=AE2,
即22+DE2=(2DE)2,解得DE=,
∴S四边形ABCE=S正方形ABCD-S△ADE=22-××2=4-;
(2)证明:如图,连接CP,∵P是EF的中点,AF⊥AE,∠BCE=90°,
∴AP=EF,CP=EF,∴AP=CP,
在△ABP和△CBP中,∵AP=CP,AB=CB,BP=BP,
∴△ABP≌△CBP(SSS),
∴∠ABP=∠CBP,∠BAP=∠BCP,
∵∠ABC=90°,∴∠CBP=45°,∵CP=BF=EF,
∴∠BFP=∠BCP,∴∠BFP=∠BAP,在△BFP中,∠BPF=∠CBP-∠BFP=45°-∠BAP.
,点P、Q分别是边AD、BC上的两动点,将四边形ABQP沿PQ翻折得到四边形EFQP,点E在线段CD上,EF交BC于G,连结AE. 求证:
(1)EA平分∠DEF;
(2)EC+EG+GC=2AB.
证明(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴DC∥AB,∠BAD =90°,
∴∠DEA=∠1,
又由折叠知,PA=PE,∠PEF=∠PAB=90°,
∴∠2=∠3,则∠PEF-∠3=∠PAB-∠2,
即∠1=∠4,
∴∠DEA=∠4即EA平分∠DEF,
(2)在EG上截取EH,使得EH=ED,连结AH、AG,
则△ADE≌△AHE(SAS),
∴AD=AH,∠D=∠5,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠D=∠B=90°,AB=BC