文档介绍：§3-3 状态方程的系统列写法
北京邮电大学
电子工程学院
俎云霄
特有树(proper tree) :树支包含了网络中所有的电压源支路和电容支路,而其连支则包含了网络中的所有电流源支路和电感支路。
选择了特有树后,对单电容树支割集,即基本割集列写KCL方程,对单连支回路,即基本回路列写KVL方程,如果方程中有非状态变量,则消去之,最后整理并写成标准形式即可。
当网络中不存在仅由电容支路和电压源支路构成的回路(简称C-Us回路)和仅由电感支路和电流源支路构成的割集(简称L-Is割集)时,特有树总是存在的。
注意:此时不采用复合支路的概念,而是以网络中的每个元件作为一条支路。
状态方程
例3-2
试列写出图示网络的其状态方程。
解
画出有向图,给各支路编号,选择特有树如图中实线所示。
对由树支2、3、4确定的基本割集列写KCL方程如下:
状态方程
对由连支7、8确定的基本回路列写KVL方程如下:
将方程中的非状态变量、用状态变量和已知量表示
状态方程
将此二式代入上面的相应方程中,并进行整理得:
状态方程
写成矩阵形式为
状态方程
直观列写法的基本步骤:
(1)画出网络的有向图,对支路进行编号,并选定一颗特有树,使其包含网络中的所有电压源和电容,而不包含任何电流源和电感;
(2)以特有树的电容树支电压和电感连支电流为状态变量;
(3)对单电容树支割集列写KCL方程;
(4)对单电感连支回路列写KVL方程;
(5)将非状态变量用状态变量和已知量表示;
(6)消去非状态变量,将状态方程整理成标准形式。
状态方程
当网络中含有仅由电容和电压源组成的回路和(或)仅由电感和电流源组成的割集时,又该如何建立网络的状态方程呢?
特有树包含:(1)全部独立电压源;(2)尽可能多的电容;(3)尽可能少的电感,但不包含独立电流源。还可能包含电阻(或电导)支路。
复杂性阶数为:
:复杂性阶数或独立状态变量数;
:电感和电容元件的总数;
:独立C-Us回路数;
:独立L-Is割集数。
状态方程
按照先树支后连支的顺序写出基本割集矩阵和基本回路矩阵,元件类型的安排顺序为:对树支支路是电压源、电容、电阻(和电导)、电感,对连支支路是电流源、电感、电阻(或电导)、电容,即:
下标t 表示树支,l 表示连支。
状态方程
如果网络中有电容和电压源构成的回路,则必定有一个电容支路作为连支,而其余的电容均为树支。因此,在以此电容作为连支的基本回路中不会有电阻(或电导)和电感,所以, 和均为零矩阵。同样,如果网络中有电感和电流源构成的割集,则必定有一个电感支路作为树支,而其余的电感均为连支。因此,在以此电感作为树支的基本割集中不会有电阻(或电导)和电容,所以, 和均为零矩阵。根据和的关系可知, 和也为零矩阵。
支路电压和支路电流列向量分别为:
状态方程