文档介绍：函数与极限函数○函数基础(高中函数部分相关知识)(★★★)○邻域(去心邻域)(★)无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质(★)函数无穷小函数无穷大○无穷小与无穷大的相关定理与推论(★★)(定理三)假设为有界函数,为无穷小,则(定理四)在自变量的某个变化过程中,若为无穷大,则为无穷小;反之,若为无穷小,且,则为无穷大【题型示例】计算:(或)1.∵≤∴函数在的任一去心邻域内是有界的;(∵≤,∴函数在上有界;);(即函数是时的无穷小;)()极限运算法则○极限的四则运算法则(★★)(定理一)加减法则(定理二)乘除法则关于多项式、商式的极限运算设:则有(特别地,当(不定型)时,通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值,也可以用罗比达法则求解)【题型示例】求值【求解示例】解:因为,从而可得,所以原式其中为函数的可去间断点倘若运用罗比达法则求解(详见第三章第二节):解:○连续函数穿越定理(复合函数的极限求解)(★★)(定理五)若函数是定义域上的连续函数,那么,【题型示例】求值:【求解示例】极限存在准则及两个重要极限○夹逼准则(★★★)第一个重要极限:∵,∴(特别地,)○单调有界收敛准则(★★★)第二个重要极限:(一般地,,其中)【题型示例】求值:【求解示例】无穷小量的阶(无穷小的比较)○等价无穷小(★★).(乘除可替,加减不行)【题型示例】求值:【求解示例】函数的连续性○函数连续的定义(★)○间断点的分类(★)(特别地,可去间断点能在分式中约去相应公因式)【题型示例】设函数,应该怎样选择数,使得成为在上的连续函数?【求解示例】1.∵∴闭区间上连续函数的性质○零点定理(★)【题型示例】证明:方程至少有一个根介于与之间【证明示例】1.(建立辅助函数)函数在闭区间上连续;2.∵(端点异号)3.∴由零点定理,在开区间内至少有一点,使得,即()○高等数学中导数的定义及几何意义(★★)【题型示例】已知函数,在处可导,求,【求解示例】1.∵,∴【题型示例】求在处的切线与法线方程(或:过图像上点处的切线与法线方程)【求解示例】1.,:法线方程:函数的和(差)、积与商的求导法则○函数和(差)、积与商的求导法则(★★★)(定理一):特别地,当时,(定理二):(定理三):反函数和复合函数的求导法则○反函数的求导法则(★)【题型示例】求函数的导数【求解示例】由题可得为直接函数,其在定于域上单调、可导,且;∴○复合函数的求导法则(★★★)【题型示例】设,求【求解示例】高阶导数○(或)(★)【题型示例】求函数的阶导数【求解示例】,,……隐函数及参数方程型函数的导数○隐函数的求导(等式两边对求导)(★★★)【题型示例】试求:方程所给定的曲线:在点的切线方程与法线方程【求解示例】由两边对求导即化简得∴∴切线方程:法线方程:○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程,求【求解示例】○基本初等函数微分公式与微分运算法则(★★★)中值定理与导数的应用中值定理○引理(费马引理)(★)○罗尔定理(★★★)【题型示例】现假设函数在上连续,在上可导,试证明:,使得成立【证明示例】1.(建立辅助函数)令显然函数在闭区间上连续,在开区间上可导;∵即3.∴由罗尔定理知,使得成立○拉格朗日中值定理(★)【题型示例】证明不等式:当时,【证明示例】1.(建立辅助函数)令函数,则对,显然函数在闭区间上连续,在开区间上可导,并且;,使得等式成立,又∵,∴,化简得,即证得:当时,【题型示例】证明不等式:当时,【证明示例】1.(建立辅助函数)令函数,则对,函数在闭区间上连续,在开区间上可导,并且;,使得等式成立,化简得,又∵,∴,∴,即证得:当时,罗比达法则○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤(★★)1.☆等价无穷小的替换(以简化运算)()且满足条件,则进行运算:(再进行1、2步骤,反复直到结果得出)B.☆不属于两大基本不定型(转化为基本不定型)⑴型(转乘为除,构造分式)【题型示例】求值:【求解示例】(一般地,,其中)⑵型(通分构造分式,观察分母)【题型示例】求值:【求解示例】⑶型(对数求极限法)【题型示例】求值:【求解示例】⑷型(对数求极限法)【题型示例】求值:【求解示例】⑸型(对数求极限法)【题型示例】求值:【求解示例】○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路(★★)⑴通分获得分式(通常伴有等价无穷小的