第三章 连续型随机变量.ppt

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第三章连续型随机变量
第三章目录
§ 连续型随机变量
§ 多维随机变量及其分布
§ 随机变量函数的分布
§ 随机变量的数字特征、契贝晓夫不等式
§ 条件分布与条件期望、回归与第二类回归
§ 随机变量及分布函数
§ 随机变量及其分布函数
对于随机变量来说,离散型的随机变量还是少数。如候车问题中,如果假设ξ(ω)为乘客到达车站的时刻,那么ξ(ω)的取值就是连续型的。
,取值于实数域的函数ξ(ω),称为是样本空间Ω上的(实值)随机变量,并称
F(x)=P(ξ(ω)<x) , x∈(-∞,∞)
是随机变量ξ(ω)的概率分布函数。简称分布函数或分布。
分布函数的性质:
(1)单调性:若x1<x2,则F(x1)<F(x2)
(2)
(3)左连续性:F(x-0)=F(x)
第一节
分布函数的性质(2)
使用分布函数计算以下概率:
P{ξ(ω)≥x}=1 - P{ξ(ω)<x} =1-F(x)
P{ξ(ω)≤x}=F(x+0)
P{ξ(ω)>x}= 1 - P{ξ(ω) ≤ x} = 1-F(x+0)
P{ξ(ω)=x}= P{ξ(ω) ≤ x} - P{ξ(ω) <x}
= F(x+0)-F(x)
对于离散型随机变量 P(ξ=ai)=pi 来说,
ξ(ω)的分布函数为
第一节

等可能的在[a,b]上投点,以ξ表示落点的位置,则ξ的分布函数为:
当x<a时,
当a<x<b时,
当x>b时,F(x)=1
所以ξ(ω)分布函数为
第一节
§ 连续型随机变量
若ξ(ω)是随机变量,F(x)是其分布函数,如果存在函数p(x),使对任意的x,有
则称ξ(ω)为连续型随机变量,相应的F(x)为连续型分布函数,同时称p(x)为F(x)的概率密度函数,或简称为密度。
密度函数的性质
(1)p(x)≥0
(2)
反过来,任何一个具有以上两个性质的函数,都可以定义一个分布函数。
常见的连续性随机变量
§ 多维随机变量及分布函数
设是定义在同一个样本空间Ω上的随机变量,则称n维向量是样本空间Ω上的n维随机变量或n维向量。并称n元函数
是n维向量的联合分布函数,简称为联合分布或分布。
我们着重讨论二维随机变量(ξ,η),其分布函数为
二维随机变量分布函数的性质
(1)对 x 或 y 都是单调不减的;
(2)对 x 或 y 都是左连续的,即有
(3)对任意的 x 和 y ,有
并且
(4)对任意的,其中x1<y1,x2<y2,有