文档介绍：一、矩阵的谱半径
第六章解线性方程组的迭代法
§3 迭代法的收敛性
二、迭代法的收敛条件
三、举例
复习:
1、矩阵的特征值与特征向量的定义与计算;
设A为方阵,Au = λu (u ≠ 0)
即λ是方程|λE - A| = 0的根
2、矩阵的特征值与特征向量的性质
3、Ak = AA…A的特征值是
一、迭代法的谱半径
称迭代公式
中的矩阵 B 为迭代矩阵.
定义1:
定义2:
设A为n阶方阵,λi (i = 1,…,n)为A的特征值,称特征值模的最大值为矩阵A的谱半径,记为
称为矩阵A的谱.
性质:
若矩阵A的谱为
谱半径为
则 Ak = AA…A
k个
的谱为
( k = 1, 2, …)
谱半径为
定理:设A为任意n阶方阵,||.||为任意由向量
范数诱导出的矩阵的范数,则
证明:
对A的任一特征值λi 及相应的特征向量
ui,都有
因为ui为非零向量,即||ui||≠0,于是有
由λi 的任意性得
定理:设A为n阶方阵,则对任意正数ε,存在
一种矩阵范数||.||,使得
(证明省略)
注:
对n阶方阵,一般不存在矩阵范数||.||,使得
但若A为对称矩阵,则有
下面的定理对建立迭代法的收敛条件十分重要.
定理:设A为n阶方阵,则
的充要条件为
证明:必要性。若
则
而
于是由极限存在准则,有
故
充分性。若
取
则存在一种矩阵范数||.||,使得
而
于是
所以
二、迭代法的收敛条件
定理:对任意初始向量 x(0)和右端项g,由迭代
格式 x(k+1) = Mx(k) + g
产生的向量序列收敛的充要条件为
证明:
必要性
设存在n维向量x*,使得
则 x* 满足
由迭代公式有
于是有
因为x(0)为任意向量,因此上式成立必须
`
即