文档介绍：幂函数
考纲要求
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=x,y=x2,y=x3,,y=的图象,了解它们的变化情况.
知识梳理:
形如______(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是______,α为____.
( ).
①y=;②y=axm(a,m为非零常数,且a≠1);③+x2;④y=xn;⑤y=(x-1)3;⑥y=2x2;⑦y=x2+1.
A.①②③④ B.①④
C.②④⑤⑥ D.②④⑦
(x)=xα(α是有理数)的图象过点,则f(x)的一个单调递减区间是( ).
A.[0,+∞)
B.(0,+∞)
C.(-∞,0]
D.(-∞,0)
<x<1时,f(x)=x2,g(x)=,h(x)=x-2,则f(x),g(x),h(x)的大小关系是__________.
(x)的图象上,则f(x)的定义域为__________,奇偶性为__________,单调减区间为__________.
一、幂函数定义的应用
【例1】已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,求当m为何值时,f(x):(1)是幂函数;(2)在(1)的条件下是(0,+∞)上的增函数;(3)是正比例函数;(4)是反比例函数.
方法提炼
,只需判断该函数的解析式是否满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)幂系数为1.
,则该函数解析式也必具有以上的三个特征.
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二、幂函数的图象与性质
【例2-1】已知幂函数f(x)=(m∈N*).
(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;
(2)若该函数经过点(2,),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.
【例2-2】已知幂函数f(x)=(t3-t+1)(t∈Z)是偶函数,求实数t的值.
方法提炼
=xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂,一般从两个方面考查:
(1)α的正负:α>0时,图象过原点,在第一象限的图象上升;α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立.
(2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1时,曲线下凸;0<α<1时,曲线上凸;α<0时,曲线下凸.
,幂函数的图象最多只能经过两个象限.
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忽视y=x0这一特殊情况而致误
【典例】已知幂函数(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点,且关于y轴对称,则m的值为__________,幂函数的解析式为__________.
解析:先根据幂函数的图象与x轴、y轴都无公共点这一条件构建关于m的不等式求出m的取值范围,再根据幂函数图象关于y轴对称,确定出m的具体值,从而得到幂函数的解析式.
因为幂函数(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点,
所以m2-2m-3≤0,解得-1≤m≤3.
又m∈Z,∴m=-1,0,1,2,3.
而的图象关于y轴对称,∴m2-2m-3为偶数.
当m=-1时,m2-2m-3=0,为偶数;
当m=0时,m2-2m-3=-3,为奇数;
当m=1时,m2-2m