文档介绍：第3讲函数的奇偶性与周期性
考点梳理
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有____________,那么称函数y=f(x)是偶函数.
如果对于任意的x∈A都有_____________,那么称函数y=f(x)是奇函数.
奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.
、偶函数的概念
f(-x)=f(x)
f(-x)=-f(x)
(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数;
②两个偶函数的和、积都是偶函数;
③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数.
(3)若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|).
(4)若奇函数f(x)定义域中含有0,则必有f(0)=0.
f(0)=0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件.
(5)复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.
(6)既奇又偶的函数有无穷多个(如f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个区间).
(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数
T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=___,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
f(x)
最小
一个命题规律
函数的奇偶性、周期性常和函数其他性质(如单调性)综合,奇偶性与单调性结合的题目常画示意图解决,周期性与三角函数相结合,以客观题型为主,,常通过研究函数的单调性、周期性、奇偶性等,全面了解函数图象的变化趋势,画出函数的示意图,从而研究函数的最值、单调区间等,是解决函数最值、不等式恒成立等问题的基本思路.
【助学·微博】
解析由f(0)=0,得b=-1,所以f(-1)=-f(1)=-(2+2-1)=-3.
答案-3
考点自测
1.(2012·海安中学)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)的值是________.
解析因为f(x+3)=f(x),f(-x)=-f(x),所以m=f(2)=f(-1)=-f(1)>-2.
答案(-2,+∞)
2.(2013·泰州学情调查)已知周期函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)的最小正周期为3,f(1)<2,f(2)=m,则m的取值范围为________.
3.(2012·盐城检测)设f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,在(0,1)上递增,若f(a-2)-f(4-a2)<0,则a的取值范围为________.
(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是________.