文档介绍：§ 等比数列的前n项和
国际象棋起源于古代印度,据传,国王要奖赏国际象棋的发明者,问他有什么要求,发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒,在第4个格子里放上8颗麦粒,依次类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子.”
这是一个什么数学问题?国王能满足他的要求吗?
问题情景
这是一个求麦子的总量的问题,即求等比数列的各项之和;
令: ,请同学们动手求。
,
探究
思考1:等差数列的前n项和是什么?有何特点?
它能用首项和末项表示,那么对于是否也能用首项和末项表示?
如果可以用首项和末项表示,那我们该怎么办呢?
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消去中间项
倒序相加法
思考2: 求等差数列的前项和用了
即
两式相加而得
对于式子是否也能用倒序相加法呢?那么可以用什么方法呢?
2
①
②
由①-②得,
以小麦千粒重为40克来计麦子质量超过7000亿吨!麦粒总质量达7000亿吨——国王是拿不出的。
两边同时乘以2,
思考3:对于一般的等比数列我们又将怎样求得它的前n项和呢?
两边同时乘以为
设为等比数列, 为首项, 为公比,它的前n项和
③
错位相减
4
由③- 得
4
分类讨论
当时,
当时,
?
即是一个常数列
等比数列的通项公式
例1 求等比数列
的前8项的和.
解由题意知,
代入公式
对公式中的知三个能求一.
变式1:在例1中此等比数列的前多少项等于?
解:因为
即
所以
则此数列的前6项之和等于