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毕业论文(设计)

题目: 函数凸性在经济学中的应用

目录
摘要(1)
0引言(1)
1凸函数的定义及判定定理(1)
2函数凸性在经济学中的应用(2)
(2)
(2)
(5)
(6)
(7)
(8)
(8)
(9)
3小结(11)
参考文献(12)
Abstract (12)
函数凸性在经济学中的应用
作者:刘畅
指导老师:华柳青

摘要:本文主要探讨了函数凸性怎样在有关经济学问题中发挥作用,并从数学的角度详细说明了经济学教材中一些结论的来源,帮助学生准确的掌握这些结论,培养学生利用数学知识解决经济问题的思维习惯.
关键字:凸函数;边际分析;效用函数
0引言

凸函数是一个十分重要的函数,它的定义最早是由Jensen给出. 凸函数具有较好的几何和代数性质, 它在判定函数的极值、研究函数的图像以及证明不等式等方面都有广泛的应用.
利用函数凸性分析经济问题是在十九世纪五十年代以后随着数学规划、最优控制论、数理经济学等应用学科的兴起而发展起来的. 经济学中所涉及的函数大多数都有一定的凸性,从而凸函数在经济学中的最优化问题的研究成为了当今的一大热点. 人们经常用它来研究系统中人、财、物的组织管理、筹划调度等问题,以发挥最大的经济效益.
1 凸函数的定义及判定定理
定义1 设在上有定义,如果对任意,及,都有
(1)
则称为凸函数.
等价定义记,

从而有,
即,
整理后可得
(2)
定理1 设函数在开区间可导,函数在区间是凸函数当且仅当,且, .
定理2 设在开区间上可导,则下述论断相互等价:
1)为上凸函数;
2)为上的增函数;
3)对上的任意两点,有
(3)
定理3 如果函数在上有存在二阶导函数,
1)若对,有,则函数在上是一个凸函数.
2)若对,有,则函数在上是一个凹函数.
定理4 (极值的第二充分条件)设在点的某邻域内一阶可导,在处二阶可导,且,.
1)若,则在取得极大值.
2)若,则在取得极小值.
2 函数凸性在经济学中的应用

无差异曲线的凸性分析
,横轴和纵轴分别表示商品1的数量和商品2的数量,曲线、分别表示两条不同商品组合的无差异曲线.

曲线是连续的,并在轴上的具有二阶导数,二阶导数又是大于零的,所以无差异曲线是凸函数.
从上图可以明显地看出,无差异曲线的斜率为负值,.
商品1对商品2的边际替代率的定义公式为
,
式中和分别表示为商品1和商品2的变化量.
当商品数量的变化趋于无穷小时,则商品的边际替代率公式为

从上式可以看出,无差异曲线上某一点的边际替代率就是无差异曲线在该点上的斜率的绝对值.

,当消费者沿着既定的无差异曲线由点运动到点时,商品1的增加量为10,,由于无差异曲线是凸函数,并且斜率是负的,这就保证了当商品1的数量一单位一单位地逐步增加时,即由点经、、运动到的过程中,每增加一单位的商品1所需放弃的商品2的数量是递减的,也就是说两个变量的比值的绝对值是逐渐减小的.
,消费者想要获得更多的这种商品的愿望就会递减,从而他为了多获得一单位的这种商品而愿意放弃的另一种商品的数量就会越来越少.
经济活动中,我们可以根据市场调查利用无差异曲线和预算线等的关系来得到商品的需求曲线,厂商会根据需求曲线获得最大的利润的生产组合,.
生产函数曲线的凸性分析
短期生产函数表示在资本投入量固定时,、平均产量和边际产量相互之间的关系,它们的定义公式分别为:
, ,
或者

根据三