文档介绍：高等代数有关理论的几何描述探讨信息与计算科学04-01班毛维东内容摘要:首先通过对线性空间理论的基本阐述,重点讨论了线性空间元素向量的运算、相关性和向量内积的几何意义。其次分析了线性方程组的解在几何上如何用线或者面的关系来表示,并用实例说明解的情况与几何图形的关系,并对解得关系进行了图形描述;再通过矩阵对实际计算机图形中的变化进行研究,得出图形变化后的坐标矩阵;最后,通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述,重点讨论了正定二次型、负定二次型,并通过具体的实例给出了分类问题的几何描述,与此同时,分析并列举了二次型标准型在二次曲面分类上的应用,由此得到了常见的几种二次曲面标准方程,并对典型方程给出了图形描述。在问题的研究中,采用理论分析与实例应用相结合,充分发挥数学应用软件的优势,将代数理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。关键字:线性空间;向量;矩阵;二次型;几何描述1导言对于在数学内容上是否应将代数与几何统一处理,人们对此有不同的意见和做法。从国内来看,在许多院校试行了将线性代数与解析几何统一的课程改革,有的将线性代数与解析几何统一课程作为高等院校理工、经管、数学专业学科的教材,也有一些高校将线性代数与解析几何作为不同的学科分开教学。从国际来看,早已出现了大量将线性代数与解析几何统一在一个学科内的教材。对于是否统一的问题各人持有不同的观点:反对代数与几何统一的一些人认为,这是在消灭几何,而历史上忽视几何的做法起码在教学上效果不好;赞同代数与几何统一的人认为,代数与几何本来就是统一的,人为的割裂使学生不能从整体上理解数学,迄今为止分裂代数与几何的做法起码在实践上的效果并不好,又由于理论数学分支,如代数几何、解析数论、拓扑结构等都是代数与几何的统一体,因此在学****的初级阶段,让学生更自觉地体会几何与代数的统一性是必要的。代数与几何是两门相互依赖、紧密相联的学科。由于代数学科概念的高度抽象性、定理的高度概括性和几何学科的具体直观性,使“数”“形”结合问题受到越来越多的关注。代数几何相结合的意义在于可以用几何的形式逻辑加以检验在于使人们更容易看到抽象代数形式背后的实际空间背景,有助于理解抽象性;也可以用代数语言和符号的灵活性与抽象性,使几何理论可以进行相对自由的逻辑推广,而不受直观的约束。因此,我们应当使几何与代数有机统一起来,使其两方面的优点都发挥出来。本文以常见的代数理论为切入点,以几何描述和图形为主线,充分发挥数学软件的优势,将抽象的代数理论用直接简单的图形来表示,使其更加便于理解、掌握。,每个有限维(n维)线性空间都同构于,所以从结构研究的意义上讲,探讨线性空间的性质可归结为探讨作为线性空间的性质。在几何上,就表示一条有向直线(规定了原点与长度单位);表示坐标平面();表示三维立体空间()。一般地,表示n维空间。因此,每个n维线性空间(代数对象)都有具体的几何背景。——向量在空间中,向量的一般表示为,其中为向量在各坐标轴上的射影。因此,向量可以理解成三维空间的点或从原点出发的有向线段,它同时可确定一条经过原点的有向直线(或射线)及其方向。例如,。,维向量的几何描述为(1)维空间的点;(2)从原点出发的有向线段,它同时可确定一条经过原点的有向直线(或射线)及其方向。,即以两个从原点出发的有向线段为邻边作成的平行四边形的对角线有向线段,。,当时,的方向与相同(共线),当时,方向与相反(共线)。作为有向线段,的长度是长度的倍。例如,令,当时,。,有不全为零的数使称线性相关;否则称为线性无关,即当且仅当其中时,才成立。定理向量组线性相关充分必要条件为至少有一个向量可以由其余向量线性表出。在空间中,两个向量线性相关,在几何上表示两个从原点出发的有向线段是共线的;三个向量线性相关,在几何上表示三个从原点出发的有向线段共面;在维数大于3的空间中,四个向量线性相关,意味着四个从原点出发的有向线段共体(三维体)。例如,表示共体,。,两个向量线性无关,在几何上表示两个从原点出发的有向线段是不共线的;在三维空间中,三个向量线性无关,在几何上表示三个从原点出发的有向线段不共面;在维数大于3的空间中,四个向量线性无关,意味着四个从原点出发的有向线段不共体。推论n维空间中任意n+1个向量必线性相关。维空间中个线性无关向量张成(生成)一个r维子空间。空间中,一个非零向量生成一个一维子空间,其几何上描述为