文档介绍：Bézier 曲线、曲面的图形设计
陈国斌
(师范学院数学教育系数学与应用数学专业 19962922)
1、引言
样条函数插值法适用于各种曲线、曲面的拟合。但对于船舶、飞机、汽车、服装等外形
的数学放样工作,在人们的脑海里,只有关于该曲线或曲面的大致构想,除少量的必须满足
的参数外,并无精确的数值定义,有很大的任意性,自由度相当大。用精确的样条插值函数
去拟合、设计这些本来就无精确数值定义的曲线或曲面,是不恰当的。
1962 年,法国雷诺汽车公司的贝塞尔(P﹒E﹒Bézier)教授开始构造一种以“逼近”
为基础的参数曲线。以这种方法为主,完成了一种自由型曲线和曲面的设计系统 UNISURF,
并于 1972 年在该公司正式使用。
这套系统使用参数曲线正是 Bézier 曲线。Bézier 曲线、曲面的形态是由一组点唯一
确定的。在各个点中,只有曲线上的第一个和最后一个点在曲线上,角点在曲面上,而其余
的点则用以决定曲线或曲面的形态,改变其中任意一点,都将改变 Bézier 曲线或曲面的形
态。
Bézier 方法已经将函数逼近论同几何结合到一种简单而直观的地步,使得设计师在计
算机上运用起来,就像使用常规作图工具设计一样,得心应手。
本设计在 94、95 师兄的基础上(见文献 5)主要完成了 Bézier 曲面的计算机生成的
软件设计,并采用 Windows 图形界面,使得 Bézier 方法更加直观。
2、Bernstein 基函数
Bernstein 基函数定义
ΓΓ
用 n 来记不超过 n 次的多项式全体所组成的线性空间,则 n 是一个 n+1 维的线性空
间,它可以有各式各样的基底,最常见的是由 1、x、⋯、 xn 组成的基底。在计算机辅助几
何设计(CAGD)中,有一种很有价值的基底:
n ()∆ i i ()− n−i
Bi x 1 x ,i=0, 1,⋯⋯ n. (1)
其中
n!
C i ∆
n i!()n − i!
是组合数。(1)式称为 Bernstein 基函数。
∀∈Γ
则 p n ,都有唯一确定的实数 a0、a1、⋯、 an 使得
n
()= n ()·
p x ∑ ai Bi x
i=0
−
i 1 i = Λ
把两点,ai−1 ,,ai ,i 1,2, ,n ,用直线段连接起来,得到一条定义于[0,
n n
— 1 —
∧ i
1]上的,由 n 段直线组成的连续的分段线性函数,记为 p ,称之为 p 的控制多边形,点,ai
n
称为控制点。
Bernstein 基函数性质(详见[2])
⑴正性
n ()≥= Λ
在[0,1]上, Bi x 0,i 0,1, ,n ·
⑵权性
n
n ()= ∈[]·
∑ Bi x 1 , x 0,1
i=0
⑶对称性
n ()= n () = Λ
Bi x Bn−i x , i 0,1, ,n ·
⑷导函数
′
[]n () = i−1 ()− n−i i − i i ()− n−i−1 =