文档介绍：04 函数与导数
1. (2011天津卷理)19.(本小题满分14分)
已知,函数(的图像连续不断)
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)当时,证明:存在,使;
(Ⅲ)若存在均属于区间的,且,使,证明
.
【解析】、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识,.
(I)解:,
令
当x变化时,的变化情况如下表:
+
0
-
极大值
所以,的单调递增区间是的单调递减区间是
(II)证明:当
由(I)知在(0,2)内单调递增,
在内单调递减.
令
由于在(0,2)内单调递增,
故
取
所以存在
即存在
(说明:的取法不唯一,只要满足即可)
(III)证明:由及(I)的结论知,
从而上的最小值为
又由,知
故
从而
2. (2011北京理)18.(本小题共13分)
已知函数。
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)若对于任意的,都有≤,求的取值范围。
【解析】(18)(共13分)
解:(Ⅰ)
令,得.
当k>0时,的情况如下
x
()
(,k)
k
+
0
—
0
+
↗
↘
0
↗
所以,的单调递减区间是()和;单调增区间是当k<0时,的情况如下
x
()
(,k)
k
—
0
+
0
—
↘
0
↗
↘
所以,的单调递减区间是()和;单调增区间是
(Ⅱ)当k>0时,因为,所以不会有
当k<0时,由(Ⅰ)知在(0,+)上的最大值是
所以等价于
解得.
故当时,k的取值范围是
3. (2011辽宁卷理)21.(本小题满分12分)
已知函数.
(I)讨论的单调性;
(II)设,证明:当时,;
(III)若函数的图像与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明:(x0)<0.
【解析】:
(I)
(i)若单调增加.
(ii)若
且当
所以单调增加,在单调减少. ………………4分
(II)设函数则
当.
故当, ………………8分
(III)由(I)可得,当的图像与x轴至多有一个交点,
故,从而的最大值为
不妨设
由(II)得
从而
由(I)知, ………………12分
4. (全国大纲卷理)22.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
(Ⅰ)设函数,证明:当时,;
(Ⅱ)从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,:
【解析】:
(I), …………2分
当,
所以为增函数,又,
因此当…………5分
(II)
又,
所以…………9分
由(I)知:当
因此
在上式中,令
所以
5. (2011全国新课标理)(21)(本小题满分12分)
已知函数,曲线在点处的切线方程为。
(Ⅰ)求、的值;
(Ⅱ)如果当,且时,,求的取值范围。
【解析】(21)解:
(Ⅰ)
由于直线的斜率为,且过点,故即
解得,。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以
。
考虑函数,则。
(i)设,由知,当时,。而,故
当时,,可得;
当x(1,+)时,h(x)<0,可得 h(x)>0
从而当x>0,且x1时,f(x)-(+)>0,即f(x)>+.
(ii)设0<k<(1,)时,(k-1)(x2 +1)+2x>0,故h’(x)>0,而h(1)=0,故当x(1,)时,h(x)>0,可得h(x)<0,与题设矛盾。
(iii)’(x)>0,而h(1)=0,故当x(1,+)时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设矛盾。
综合得,k的取值范围为(-,0]
6. (江西卷理)19(本小题满分12分)
设
若在上存在单调递增区间,求的取值范围;
当时,在上的最小值为,求在该区间上的最大值.
【解析】(1)已知,,函数在上存在单调递增区间,即导函数在上存在函数值大于零的部分,
(2)已知0<a<2, 在上取到最小值,而的图像开口向下,且对轴,
则必有一点使得此时函数在上单调递增,在单调递减,
,
此时,由,所以函数
7. (山东卷理)21.(本小题满分12分)
某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为立方米,,半球形部分每平方米建造费用为千元,设该容器的建造费用为千元.
(Ⅰ)写出关于的