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相似矩阵
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底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力
引例社会调查表明,某地劳动力从业转移情况
是:在从农人员中每年有3/4改为从事非农工作,在
非农从业人员中每年有1/20改为从农工作. 到2000年
的1/5和4/5,记成向量
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全部劳动力的百分比分别为xn和yn,记成向量
设n年后从农工作和从事非农工作人员占
业情况的发展趋势.
(1)求与的关系式,并写出矩阵形式;
(2)求,并预测经过多年之后该地劳动力从
解(1)由题意得
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用矩阵表示为
此矩阵记成A
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(2)由上式知
若有可逆矩阵P,使为对角阵,则
研究矩阵的相似对角化的问题的原因之一.
而Λn容易计算,
求An就是解决问题的关键
n个
于是就可方便地计算An,
这是我们
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使
定义 设 A , B 都是 n 阶矩阵,若有可逆阵P,
则称B是A的相似矩阵,
称为把A变成B的相似变换矩阵.
或称矩阵 A与B 相似.
对A进
进行运算称为对A进行相似变换,
可逆矩阵 P
如
与
相似.
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定理 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多
证因A与B相似,
项式相同,从而A与B的特征值也相同.
故
即有可逆阵P,使
这表明A与B
有相同特征值
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相似, 则是A的n个特征值.
推论若 n 阶矩阵A与对角阵
证∵即是Λ的n个特征值,
∴ 知也就是A的n个特征值.
为什么?
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其中
不难证明:若有可逆阵P,使
为对角
相似对角化一应用计算矩阵多项式
阵,则
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定理 n 阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角
化)的充分必要条件是A有n 个线性无关的特征向量.
下面我们要讨论的主要问题是:对n 阶矩阵A,
寻求相似变换矩阵P,使为对角阵,这
就称为把矩阵A对角化.
证必要性. 设有可逆阵P,使
为对角阵,
记P = ( p1 , p2 ,…, pn ),