文档介绍：
第十一章布莱克-休尔斯-莫顿期权定价模型
1973年,美国芝加哥大学教授 Fischer Black&
Myron Scholes提出了著名的B-S定价模型,用于确定欧式股票期权价格,在学术界和实务界引起了强烈反响;同年,Robert C. Merton独立地提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。在本章中,我们将循序渐进,尽量深入浅出地介绍布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型(下文简称B-S-M模型),并由此导出衍生证券定价的一般方法。
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Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008
布莱克-休尔斯-莫顿期权定价模型基本思路
我们为了给股票期权定价,必须先了解股票本身的走势。因为股票期权是其标的资产(即股票)的衍生工具,在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下,期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化,股票价格是影响期权价格的最根本因素。
因此,要研究期权的价格,首先必须研究股票价格的变化规律。在了解了股票价格的规律后,我们试图通过股票来复制期权,并以此为依据给期权定价。
在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思想。
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股票价格的变化过程
市场有效理论与随机过程
1965年,法玛(Fama)提出了著名的效率市场假说。该假说认为,证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的,证券价格能完全反应全部信息。
1、弱式效率市场假说
2、半强式效率市场假说3、强式效率市场假说
根据众多学者的实证研究,发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。一般认为,弱式效率市场假说与马尔可夫随机过程(Markov Stochastic Process)是内在一致的。因此我们可以用数学来刻画股票的这种特征。
有效市场三个层次
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布朗运动
布朗运动(Brownian Motion)起源于英国植物学家布郎对水杯中的花粉粒子的运动轨迹的描述。
对于标准布朗运动来说:设代表一个小的时间间隔长度, 代表变量z在时间内的变化,遵循标准布朗运动的具有两种特征:
特征1: 和的关系满足:
=
其中, 代表从标准正态分布(即均值为0、标准差为1的正态分布)中取的一个随机值。
特征2:对于任何两个不同时间间隔, 的值相互独立。
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布朗运动
将标准布郎运动扩展我们将得到普通布郎运动,令漂移率为a,方差率为b2,我们就可得到变量x 的普通布朗运动:
标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例,即漂移率为0,方差为1的普通布郎运动。
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布朗运动
普通布朗运动的离差形式为,显然,Δx也具有正态分布特征,其均值为,标准差为,方差为
1、显然,遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程,其中第一项adt为确定项,它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a 。第二项bdz是随机项,它表明对x的动态过程添加的噪音。这种噪音是由维纳过程的b倍给出的。
2、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征,其均值为aT,标准差为,方差为b2T。
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伊藤过程与伊藤引理
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数,若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数,我们就可以得到
这就是伊藤过程(Ito Process)。其中,dz是一个标准布朗运动,a、b是变量x和t的函数,变量x的漂移率为a,方差率为b2。
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伊藤过程与伊藤引理
在伊藤过程的基础上,数学家伊藤()进一步推导出:若变量x遵循伊藤过程,则变量x和t的函数G将遵循如下过程:
其中,dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。
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伊藤过程与伊藤引理
运用伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程
假设变量S服从
其中μ和σ都为常数,则lnS遵循怎样的随机过程?
由于μ和σ是常数,S显然